Задача 10. Параллелограмм MFKS.
В параллелограмме \(MFKS\) \(MF : MK = 1 : 2\) и \(\angle SKM\) равен \(38^\circ\). Найдите наименьший из углов, образованных диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Обозначим параллелограмм \(MFKS\). Пусть диагонали \(MS\) и \(FK\) пересекаются в точке \(O\).
2. Дано отношение сторон: \(MF : MK = 1 : 2\). Пусть \(MF = x\), тогда \(MK = 2x\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(SK = MF = x\) и \(FS = MK = 2x\).
4. Дано, что \(\angle SKM = 38^\circ\). Это угол \(\angle K\) параллелограмма.
5. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle F + \angle K = 180^\circ\).
6. Найдем угол \(\angle F\): \(\angle F = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
7. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. То есть \(MO = OS\) и \(FO = OK\).
8. Нам нужно найти наименьший из углов, образованных диагоналями. Диагонали образуют две пары вертикальных углов. Если один угол равен \(\alpha\), то смежный с ним угол равен \(180^\circ - \alpha\). Наименьшим будет тот, который меньше \(90^\circ\).
9. Рассмотрим треугольник \(\triangle MFK\). В нем стороны \(MF = x\), \(MK = 2x\), и угол \(\angle F = 142^\circ\).
10. Рассмотрим треугольник \(\triangle SKM\). В нем стороны \(SK = x\), \(MK = 2x\), и угол \(\angle K = 38^\circ\).
11. Для нахождения углов между диагоналями, удобно использовать теорему синусов или косинусов в треугольниках, образованных половинами диагоналей и сторонами параллелограмма.
12. Рассмотрим \(\triangle MOK\). Угол \(\angle MOK\) - это один из углов между диагоналями. В этом треугольнике \(MO = MS/2\), \(OK = FK/2\), \(MK = 2x\).
13. Рассмотрим \(\triangle FOS\). Угол \(\angle FOS\) - это вертикальный угол к \(\angle MOK\).
14. Рассмотрим \(\triangle FOK\). Угол \(\angle FOK\) - это смежный угол к \(\angle MOK\).
15. В \(\triangle SKM\): Стороны: \(SK = x\), \(MK = 2x\). Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
По теореме синусов для \(\triangle SKM\): \(\frac{SK}{\sin \angle SMK} = \frac{MK}{\sin \angle MSK} = \frac{MS}{\sin \angle SKM}\).
\(\frac{x}{\sin \angle SMK} = \frac{2x}{\sin \angle MSK}\).
Отсюда \(\sin \angle MSK = 2 \sin \angle SMK\).
16. Также, \(\angle SMK + \angle MSK + \angle SKM = 180^\circ\).
\(\angle SMK + \angle MSK + 38^\circ = 180^\circ\).
\(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\).
17. Угол \(\angle MSK\) - это угол, который диагональ \(MS\) образует со стороной \(SK\).
18. Угол \(\angle SMK\) - это угол, который диагональ \(MS\) образует со стороной \(MK\).
19. В параллелограмме \(MFKS\), \(MF \parallel SK\). Значит, \(\angle FMS\) и \(\angle MSK\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MF\) и \(SK\) и секущей \(MS\).
20. Следовательно, \(\angle FMS = \angle MSK\).
21. Угол \(\angle F = 142^\circ\). Угол \(\angle F = \angle FMS + \angle SMK\).
22. Мы знаем, что \(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\).
23. Также, \(\angle FMS = \angle MSK\).
24. Подставим \(\angle FMS\) вместо \(\angle MSK\) в равенство \(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\):
\(\angle SMK + \angle FMS = 142^\circ\).
Это просто подтверждает, что \(\angle F = 142^\circ\).
25. Теперь вернемся к \(\triangle SKM\). \(\angle SKM = 38^\circ\). \(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\).
26. В \(\triangle MOK\), угол \(\angle MOK\) - это внешний угол для \(\triangle SKO\), или внутренний для \(\triangle MOK\).
27. Угол \(\angle MOK\) является внешним углом для \(\triangle KOS\). \(\angle MOK = \angle SKO + \angle KSO\).
28. \(\angle SKO\) - это часть угла \(\angle K\). \(\angle SKO = \angle FKO\).
29. \(\angle KSO\) - это часть угла \(\angle S\). \(\angle KSO = \angle MSO\).
30. Давайте используем теорему синусов в \(\triangle MOK\).
31. В \(\triangle SKM\), \(\angle SKM = 38^\circ\). \(\frac{SK}{\sin \angle SMK} = \frac{MS}{\sin 38^\circ}\).
\(\frac{x}{\sin \angle SMK} = \frac{MS}{\sin 38^\circ}\).
\(MS = \frac{x \sin 38^\circ}{\sin \angle SMK}\).
32. В \(\triangle FKM\), \(\angle F = 142^\circ\). \(\frac{MF}{\sin \angle MKF} = \frac{FK}{\sin 142^\circ}\).
\(\frac{x}{\sin \angle MKF} = \frac{FK}{\sin 142^\circ}\).
\(FK = \frac{x \sin 142^\circ}{\sin \angle MKF}\).
33. Это слишком сложно. Есть более простое свойство.
34. В \(\triangle MOK\), \(\angle MOK\) - это угол между диагоналями. \(\angle OMK\) - это \(\angle SMK\). \(\angle OKM\) - это \(\angle FKM\).
35. Угол \(\angle SKM = 38^\circ\). Угол \(\angle F = 142^\circ\).
36. В \(\triangle MFK\), \(MF = x\), \(FK\) - диагональ, \(MK = 2x\). \(\angle F = 142^\circ\).
37. В \(\triangle SKM\), \(SK = x\), \(MS\) - диагональ, \(MK = 2x\). \(\angle K = 38^\circ\).
38. Используем теорему синусов в \(\triangle SKM\): \(\frac{SK}{\sin \angle SMK} = \frac{MK}{\sin \angle MSK}\).
\(\frac{x}{\sin \angle SMK} = \frac{2x}{\sin \angle MSK}\).
\(\sin \angle MSK = 2 \sin \angle SMK\).
39. Также \(\angle SMK + \angle MSK = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
40. Пусть \(\angle SMK = \alpha\). Тогда \(\angle MSK = 142^\circ - \alpha\).
\(\sin (142^\circ - \alpha) = 2 \sin \alpha\).
\(\sin 142^\circ \cos \alpha - \cos 142^\circ \sin \alpha = 2 \sin \alpha\).
\(\sin 142^\circ \cos \alpha = (2 + \cos 142^\circ) \sin \alpha\).
\(\tan \alpha = \frac{\sin 142^\circ}{2 + \cos 142^\circ}\).
\(\sin 142^\circ = \sin (180^\circ - 38^\circ) = \sin 38^\circ \approx 0.6157\).
\(\cos 142^\circ = \cos (180^\circ - 38^\circ) = -\cos 38^\circ \approx -0.7880\).
\(\tan \alpha = \frac{0.6157}{2 - 0.7880} = \frac{0.6157}{1.212} \approx 0.5079\).
\(\alpha = \arctan(0.5079) \approx 27^\circ\).
Значит, \(\angle SMK \approx 27^\circ\).
Тогда \(\angle MSK = 142^\circ - 27^\circ = 115^\circ\).
41. Угол \(\angle MSK\) - это угол, который диагональ \(MS\) образует со стороной \(SK\).
42. Угол \(\angle FKM\) - это угол, который диагональ \(FK\) образует со стороной \(MK\).
43. В \(\triangle MOK\), угол \(\angle MOK\) - это угол между диагоналями. \(\angle OMK = \angle SMK \approx 27^\circ\).
44. Угол \(\angle OKM\) - это часть угла \(\angle K\). \(\angle OKM = \angle FKM\).
45. В \(\triangle FKM\): Стороны \(MF = x\), \(MK = 2x\). Угол \(\angle F = 142^\circ\).
По теореме синусов: \(\frac{MF}{\sin \angle MKF} = \frac{MK}{\sin \angle KFM}\).
\(\frac{x}{\sin \angle MKF} = \frac{2x}{\sin \angle KFM}\).
\(\sin \angle KFM = 2 \sin \angle MKF\).
46. \(\angle MKF + \angle KFM = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ\).
47. Пусть \(\angle MKF = \beta\). Тогда \(\angle KFM = 38^\circ - \beta\).
\(\sin (38^\circ - \beta) = 2 \sin \beta\).
\(\sin 38^\circ \cos \beta - \cos 38^\circ \sin \beta = 2 \sin \beta\).
\(\sin 38^\circ \cos \beta = (2 + \cos 38^\circ) \sin \beta\).
\(\tan \beta = \frac{\sin 38^\circ}{2 + \cos 38^\circ}\).
\(\sin 38^\circ \approx 0.6157\).
\(\cos 38^\circ \approx 0.7880\).
\(\tan \beta = \frac{0.6157}{2 + 0.7880} = \frac{0.6157}{2.788} \approx 0.2208\).
\(\beta = \arctan(0.2208) \approx 12.4^\circ\).
Значит, \(\angle MKF \approx 12.4^\circ\).
48. Теперь у нас есть углы \(\angle OMK \approx 27^\circ\) и \(\angle OKM \approx 12.4^\circ\) в \(\triangle MOK\).
49. Сумма углов в \(\triangle MOK\): \(\angle MOK + \angle OMK + \angle OKM = 180^\circ\).
\(\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM)\).
\(\angle MOK = 180^\circ - (27^\circ + 12.4^\circ)\).
\(\angle MOK = 180^\circ - 39.4^\circ = 140.6^\circ\).
50. Это один из углов, образованных диагоналями. Другой угол будет смежным с ним: \(180^\circ - 140.6^\circ = 39.4^\circ\).
51. Наименьший из этих углов равен \(39.4^\circ\).
Проверим, нет ли более простого способа.
Можно использовать формулу для площади параллелограмма: \(S = ab \sin \gamma\), где \(a\) и \(b\) - стороны, \(\gamma\) - угол между ними.
Также \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta\), где \(d_1, d_2\) - диагонали, \(\theta\) - угол между ними.
Или использовать теорему косинусов для диагоналей.
В параллелограмме \(MFKS\): \(MS^2 = MF^2 + FS^2 - 2 \cdot MF \cdot FS \cdot \cos \angle F\).
\(MS^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos 142^\circ\).
\(MS^2 = x^2 + 4x^2 - 4x^2 \cos 142^\circ = 5x^2 - 4x^2 \cos 142^\circ\).
\(MS^2 = x^2 (5 - 4 \cos 142^\circ)\).
\(\cos 142^\circ = -\cos 38^\circ \approx -0.7880\).
\(MS^2 = x^2 (5 - 4(-0.7880)) = x^2 (5 + 3.152) = 8.152 x^2\).
\(MS = x \sqrt{8.152} \approx 2.855 x\).
\(FK^2 = MF^2 + MK^2 - 2 \cdot MF \cdot MK \cdot \cos \angle M\).
\(FK^2 = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot \cos 38^\circ\).
\(FK^2 = 5x^2 - 4x^2 \cos 38^\circ = x^2 (5 - 4 \cos 38^\circ)\).
\(FK^2 = x^2 (5 -