Задача 10. Параллелограмм MFKS.
В параллелограмме \(MFKS\) \(MF : MK = 1 : 2\) и \(\angle SKM\) равен \(38^\circ\). Найдите наименьший из углов, образованных диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Обозначим параллелограмм \(MFKS\). Пусть диагонали \(MS\) и \(FK\) пересекаются в точке \(O\).
2. Дано отношение сторон: \(MF : MK = 1 : 2\). Пусть \(MF = x\), тогда \(MK = 2x\).
3. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(SK = MF = x\) и \(FS = MK = 2x\).
4. Дано, что \(\angle SKM = 38^\circ\). Это угол \(\angle K\) параллелограмма.
5. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Значит, \(\angle F + \angle K = 180^\circ\).
6. Найдем угол \(\angle F\): \(\angle F = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\).
7. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. То есть \(MO = OS\) и \(FO = OK\).
8. Рассмотрим треугольник \(\triangle MOK\). Угол \(\angle MOK\) - это один из углов, образованных диагоналями. Угол \(\angle FOK\) - это смежный с ним угол.
9. В \(\triangle MOK\), угол \(\angle MOK\) является внешним углом для \(\triangle FOS\), или же мы можем найти его, зная углы \(\angle OMK\) и \(\angle OKM\).
10. Угол \(\angle OMK\) - это часть угла \(\angle M\) параллелограмма. Угол \(\angle OKM\) - это часть угла \(\angle K\) параллелограмма.
11. В параллелограмме \(MFKS\), сторона \(MF\) параллельна стороне \(SK\) (\(MF \parallel SK\)). Диагональ \(MS\) является секущей.
12. Углы \(\angle FMS\) и \(\angle MSK\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MF\) и \(SK\) и секущей \(MS\). Следовательно, \(\angle FMS = \angle MSK\).
13. Диагональ \(FK\) является секущей для параллельных прямых \(MF\) и \(SK\).
14. Углы \(\angle MFK\) и \(\angle SKF\) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \(MF\) и \(SK\) и секущей \(FK\). Следовательно, \(\angle MFK = \angle SKF\).
15. Рассмотрим \(\triangle SKM\). Стороны: \(SK = x\), \(MK = 2x\). Угол \(\angle SKM = 38^\circ\).
По теореме синусов для \(\triangle SKM\): \[ \frac{SK}{\sin \angle SMK} = \frac{MK}{\sin \angle MSK} \] \[ \frac{x}{\sin \angle SMK} = \frac{2x}{\sin \angle MSK} \] \[ \sin \angle MSK = 2 \sin \angle SMK \]
16. Сумма углов в \(\triangle SKM\): \(\angle SMK + \angle MSK + \angle SKM = 180^\circ\).
\(\angle SMK + \angle MSK + 38^\circ = 180^\circ\).
\(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\).
17. Теперь у нас есть система уравнений:
а) \(\sin \angle MSK = 2 \sin \angle SMK\)
б) \(\angle SMK + \angle MSK = 142^\circ\)
18. Из (б) выразим \(\angle MSK = 142^\circ - \angle SMK\).
19. Подставим это в (а): \(\sin (142^\circ - \angle SMK) = 2 \sin \angle SMK\).
20. Используем формулу синуса разности: \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\).
\(\sin 142^\circ \cos \angle SMK - \cos 142^\circ \sin \angle SMK = 2 \sin \angle SMK\).
21. Перенесем члены с \(\sin \angle SMK\) в правую часть:
\(\sin 142^\circ \cos \angle SMK = (2 + \cos 142^\circ) \sin \angle SMK\).
22. Разделим обе части на \(\cos \angle SMK\) (предполагая, что \(\cos \angle SMK \neq 0\)) и на \((2 + \cos 142^\circ)\):
\[ \tan \angle SMK = \frac{\sin 142^\circ}{2 + \cos 142^\circ} \]
23. Используем свойства тригонометрических функций: \(\sin 142^\circ = \sin (180^\circ - 38^\circ) = \sin 38^\circ\). \(\cos 142^\circ = \cos (180^\circ - 38^\circ) = -\cos 38^\circ\).
24. Подставим эти значения:
\[ \tan \angle SMK = \frac{\sin 38^\circ}{2 - \cos 38^\circ} \]
25. Теперь вычислим значения: \(\sin 38^\circ \approx 0.61566\). \(\cos 38^\circ \approx 0.78801\).
\[ \tan \angle SMK = \frac{0.61566}{2 - 0.78801} = \frac{0.61566}{1.21199} \approx 0.50797 \]
26. Найдем угол \(\angle SMK\):
\(\angle SMK = \arctan(0.50797) \approx 27.00^\circ\).
27. Теперь найдем \(\angle MSK\):
\(\angle MSK = 142^\circ - \angle SMK = 142^\circ - 27^\circ = 115^\circ\).
28. Угол \(\angle SMK\) - это угол \(\angle OMK\) в \(\triangle MOK\).
29. Угол \(\angle MSK\) - это угол \(\angle OSK\) в \(\triangle OSK\).
30. В \(\triangle MOK\), нам нужны \(\angle OMK\) и \(\angle OKM\).
\(\angle OMK = \angle SMK \approx 27^\circ\).
31. Угол \(\angle OKM\) - это часть угла \(\angle K\) параллелограмма. \(\angle OKM = \angle FKM\).
32. Рассмотрим \(\triangle FKM\). Стороны: \(MF = x\), \(MK = 2x\). Угол \(\angle F = 142^\circ\).
По теореме синусов для \(\triangle FKM\): \[ \frac{MF}{\sin \angle MKF} = \frac{MK}{\sin \angle KFM} \] \[ \frac{x}{\sin \angle MKF} = \frac{2x}{\sin \angle KFM} \] \[ \sin \angle KFM = 2 \sin \angle MKF \]
33. Сумма углов в \(\triangle FKM\): \(\angle MKF + \angle KFM + \angle F = 180^\circ\).
\(\angle MKF + \angle KFM + 142^\circ = 180^\circ\).
\(\angle MKF + \angle KFM = 38^\circ\).
34. Снова система уравнений:
а) \(\sin \angle KFM = 2 \sin \angle MKF\)
б) \(\angle MKF + \angle KFM = 38^\circ\)
35. Из (б) выразим \(\angle KFM = 38^\circ - \angle MKF\).
36. Подставим это в (а): \(\sin (38^\circ - \angle MKF) = 2 \sin \angle MKF\).
37. Используем формулу синуса разности:
\(\sin 38^\circ \cos \angle MKF - \cos 38^\circ \sin \angle MKF = 2 \sin \angle MKF\).
\(\sin 38^\circ \cos \angle MKF = (2 + \cos 38^\circ) \sin \angle MKF\).
\[ \tan \angle MKF = \frac{\sin 38^\circ}{2 + \cos 38^\circ} \]
38. Вычислим значения:
\[ \tan \angle MKF = \frac{0.61566}{2 + 0.78801} = \frac{0.61566}{2.78801} \approx 0.22082 \]
39. Найдем угол \(\angle MKF\):
\(\angle MKF = \arctan(0.22082) \approx 12.44^\circ\).
40. Угол \(\angle OKM = \angle MKF \approx 12.44^\circ\).
41. Теперь у нас есть два угла в \(\triangle MOK\): \(\angle OMK \approx 27.00^\circ\). \(\angle OKM \approx 12.44^\circ\).
42. Сумма углов в \(\triangle MOK\): \(\angle MOK + \angle OMK + \angle OKM = 180^\circ\).
\(\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM)\).
\(\angle MOK = 180^\circ - (27.00^\circ + 12.44^\circ)\).
\(\angle MOK = 180^\circ - 39.44^\circ = 140.56^\circ\).
43. Это один из углов, образованных диагоналями. Другой угол (смежный с ним) равен:
\(180^\circ - \angle MOK = 180^\circ - 140.56^\circ = 39.44^\circ\).
44. Наименьший из этих углов равен \(39.44^\circ\).
Округление до целого числа градусов:
Если требуется округлить до целого числа, то \(39.44^\circ\) округляется до \(39^\circ\).
Ответ: \(39\).