Решение задачи: Упростить выражение √52 - 14√3 * (14 + 2√3)

Хорошо, решим обе задачи по порядку. ---

Задача 1. Иррациональное выражение

Упростите выражение \[ \sqrt{52 - 14\sqrt{3}} \cdot (14 + 2\sqrt{3}) \] Решение: Шаг 1: Упростим выражение под первым корнем \( \sqrt{52 - 14\sqrt{3}} \). Мы ищем выражение вида \( \sqrt{(a-b\sqrt{c})^2} = |a-b\sqrt{c}| \). Для этого нужно представить \( 52 - 14\sqrt{3} \) в виде квадрата разности. Формула квадрата разности: \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \). Сравним \( 52 - 14\sqrt{3} \) с \( x^2 + y^2 - 2xy \). Мы видим, что \( 2xy = 14\sqrt{3} \), откуда \( xy = 7\sqrt{3} \). Возможные пары для \( x \) и \( y \): 1) \( x=7, y=\sqrt{3} \). Тогда \( x^2 = 49 \), \( y^2 = 3 \). Проверим сумму квадратов: \( x^2 + y^2 = 49 + 3 = 52 \). Это совпадает с числом 52 в выражении. Значит, \( 52 - 14\sqrt{3} = (7 - \sqrt{3})^2 \). Теперь подставим это обратно в корень: \[ \sqrt{(7 - \sqrt{3})^2} = |7 - \sqrt{3}| \] Так как \( 7 = \sqrt{49} \) и \( \sqrt{49} > \sqrt{3} \), то \( 7 - \sqrt{3} > 0 \). Следовательно, \( |7 - \sqrt{3}| = 7 - \sqrt{3} \). Шаг 2: Подставим упрощенное выражение обратно в исходное. \[ (7 - \sqrt{3}) \cdot (14 + 2\sqrt{3}) \] Шаг 3: Раскроем скобки. \[ 7 \cdot 14 + 7 \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 14 - \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \] \[ 98 + 14\sqrt{3} - 14\sqrt{3} - 2 \cdot (\sqrt{3})^2 \] \[ 98 + 14\sqrt{3} - 14\sqrt{3} - 2 \cdot 3 \] \[ 98 + 0 - 6 \] \[ 98 - 6 = 92 \] Окончательный ответ - целое число 92. Ответ: 92 ---

Задача 2. Иррациональные выражения

Найдите значение выражения \[ \left( \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} - \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} \right)^2 \] Решение: Обозначим \( A = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} \) и \( B = \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} \). Тогда выражение имеет вид \( (A - B)^2 \). Раскроем квадрат разности: \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \). Шаг 1: Найдем \( A^2 \). \[ A^2 = \left( \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} \right)^2 = 6 - 3\sqrt{3} \] Шаг 2: Найдем \( B^2 \). \[ B^2 = \left( \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} \right)^2 = 6 + 3\sqrt{3} \] Шаг 3: Найдем \( AB \). \[ AB = \sqrt{6 - 3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{6 + 3\sqrt{3}} \] Используем свойство \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \): \[ AB = \sqrt{(6 - 3\sqrt{3}) \cdot (6 + 3\sqrt{3})} \] Это произведение является формулой разности квадратов: \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \). Здесь \( x=6 \) и \( y=3\sqrt{3} \). \[ AB = \sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2} \] \[ AB = \sqrt{36 - (3^2 \cdot (\sqrt{3})^2)} \] \[ AB = \sqrt{36 - (9 \cdot 3)} \] \[ AB = \sqrt{36 - 27} \] \[ AB = \sqrt{9} \] \[ AB = 3 \] Шаг 4: Подставим найденные значения \( A^2 \), \( B^2 \) и \( AB \) в формулу \( A^2 - 2AB + B^2 \). \[ (6 - 3\sqrt{3}) - 2 \cdot 3 + (6 + 3\sqrt{3}) \] \[ 6 - 3\sqrt{3} - 6 + 6 + 3\sqrt{3} \] Сгруппируем слагаемые: \[ (6 - 6 + 6) + (-3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \] \[ 6 + 0 \] \[ 6 \] Окончательный ответ - целое число 6. Ответ: 6