Решение задачи про дирижабль: расчет подъёмной силы

Хорошо, давайте решим эту комплексную задачу, включающую расчеты и теоретические вопросы.

Задача: Расчеты для дирижабля и свойства газов

Условие задачи:

Аэростаты, дирижабли – это разновидности воздухоплавательных аппаратов. Их передвижение и пребывание в воздушной среде обеспечивается за счёт лёгких газов (легче воздуха), которыми их наполняют. Чем меньше плотность газа, заполняющего летательный аппарат, тем меньше действующая на него сила тяжести и, следовательно, тем больше подъёмная сила: \[F_{под} = g \cdot V \cdot (\rho_{возд.} - \rho_{газа})\] где \(\rho\) - плотность (кг/\(м^3\)), \(g\) - ускорение свободного падения (\(g = 9,8\) Н/кг), \(V\) - объём газа (\(м^3\)). Водород в 14,5 раз легче воздуха, подъёмная сила летательного аппарата на водороде высока. Кажется, что это идеальный газ для воздухоплавания, но из-за высокой взрывоопасности, вместо водорода в настоящее время используют гелий. Рассчитайте абсолютную плотность водорода и воздуха. Определите объём водорода (при н.у.), которым необходимо наполнить дирижабль, чтобы подъёмная сила составила 28,9 кН. Какой объём кислорода вступит в реакцию с таким объёмом водорода (н.у.)? Проведите необходимые расчёты (промежуточные вычисления округляйте до сотых), ответьте на вопросы.

Решение:

1. Рассчитаем абсолютную плотность водорода и воздуха (при н.у.). Для расчета плотности газов при нормальных условиях (н.у.) используем формулу: \[\rho = \frac{M}{V_m}\] где \(M\) - молярная масса газа, \(V_m\) - молярный объем газа при н.у. (\(22.4\) л/моль или \(0.0224\) \(м^3\)/моль). * Плотность водорода (\(H_2\)): Молярная масса водорода \(M(H_2) = 2 \cdot 1 = 2\) г/моль \( = 0.002\) кг/моль. \[\rho(H_2) = \frac{0.002 \text{ кг/моль}}{0.0224 \text{ м}^3\text{/моль}} \approx 0.08928 \text{ кг/м}^3\] Округляем до сотых: \(\rho(H_2) \approx 0.09\) кг/\(м^3\). * Плотность воздуха (\(\rho_{возд.}\)): В условии сказано, что водород в 14,5 раз легче воздуха. Это означает, что плотность воздуха в 14,5 раз больше плотности водорода. \[\rho_{возд.} = 14.5 \cdot \rho(H_2)\] \[\rho_{возд.} = 14.5 \cdot 0.08928 \text{ кг/м}^3 \approx 1.29456 \text{ кг/м}^3\] Округляем до сотых: \(\rho_{возд.} \approx 1.29\) кг/\(м^3\). 2. Определим объём водорода (\(V\)), которым необходимо наполнить дирижабль. Дана подъёмная сила \(F_{под} = 28.9\) кН \( = 28900\) Н. Ускорение свободного падения \(g = 9.8\) Н/кг. Используем формулу для подъёмной силы: \[F_{под} = g \cdot V \cdot (\rho_{возд.} - \rho_{газа})\] Подставим известные значения: \[28900 \text{ Н} = 9.8 \text{ Н/кг} \cdot V \cdot (1.29 \text{ кг/м}^3 - 0.09 \text{ кг/м}^3)\] \[28900 = 9.8 \cdot V \cdot (1.20)\] \[28900 = 11.76 \cdot V\] \[V = \frac{28900}{11.76} \approx 2457.483 \text{ м}^3\] Округляем до сотых: \(V \approx 2457.48\) \(м^3\). 3. Какой объём кислорода вступит в реакцию с таким объёмом водорода (н.у.)? Реакция взаимодействия водорода с кислородом: \[2H_2 (г) + O_2 (г) \rightarrow 2H_2O (г)\] Согласно закону объемных отношений Гей-Люссака, объемы газов, вступающих в реакцию и образующихся в ней, относятся как небольшие целые числа, равные их стехиометрическим коэффициентам в уравнении реакции. Из уравнения видно, что 2 объема водорода реагируют с 1 объемом кислорода. \[\frac{V(H_2)}{V(O_2)} = \frac{2}{1}\] \[V(O_2) = \frac{1}{2} \cdot V(H_2)\] \[V(O_2) = \frac{1}{2} \cdot 2457.48 \text{ м}^3\] \[V(O_2) = 1228.74 \text{ м}^3\] Ответ нужно записать числом с точностью до сотых.

Ответы для заполнения:

* Объём (в \(м^3\)) водорода, которым необходимо заполнить дирижабль, равен: 2457.48 * Объём кислорода (в \(м^3\)), который вступит в реакцию с таким объёмом водорода при н.у. равен: 1228.74

Ответы на вопросы:

1. Почему водород в воздухоплавании заменили на гелий? Правильный ответ: * Гелий менее взрывоопасен, чем водород. (Водород очень легко воспламеняется и образует взрывоопасные смеси с воздухом, что привело к катастрофам, таким как гибель дирижабля "Гинденбург". Гелий является инертным газом и не горит.) 2. Как изменится подъёмная сила дирижабля, наполненного гелием, по сравнению с дирижаблем такого же объёма при тех же условиях, наполненным водородом? Для ответа на этот вопрос нужно сравнить плотности водорода и гелия. Молярная масса гелия \(M(He) = 4\) г/моль \( = 0.004\) кг/моль. Плотность гелия при н.у.: \[\rho(He) = \frac{0.004 \text{ кг/моль}}{0.0224 \text{ м}^3\text{/моль}} \approx 0.17857 \text{ кг/м}^3\] Мы рассчитали плотность водорода \(\rho(H_2) \approx 0.089\) кг/\(м^3\). Видно, что \(\rho(He) > \rho(H_2)\). Подъёмная сила \(F_{под} = g \cdot V \cdot (\rho_{возд.} - \rho_{газа})\). Так как плотность гелия больше плотности водорода, то разность \((\rho_{возд.} - \rho_{He})\) будет меньше, чем \((\rho_{возд.} - \rho_{H_2})\). Следовательно, подъёмная сила дирижабля, наполненного гелием, будет меньше. Правильный ответ: * уменьшится