Задача 6. Легкая
Свойства квадратного корня
Найдите значение выражения \(\sqrt{3^4 \cdot 5^2 \cdot 0,2^6}\).
Ответ представьте в виде десятичной дроби.
Для решения этой задачи нам понадобятся свойства квадратного корня: 1. \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) (корень из произведения равен произведению корней). 2. \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\) (корень из степени). Давайте пошагово упростим выражение:Шаг 1: Разложим выражение под корнем на множители.
У нас уже есть произведение степеней: \[\sqrt{3^4 \cdot 5^2 \cdot 0,2^6}\]Шаг 2: Применим свойство корня из произведения.
\[\sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{0,2^6}\]Шаг 3: Извлечем корень из каждой степени.
Для этого разделим показатель степени на 2: \(\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2\) \(\sqrt{5^2} = 5^{2/2} = 5^1 = 5\) \(\sqrt{0,2^6} = 0,2^{6/2} = 0,2^3\)Шаг 4: Вычислим значения полученных степеней.
\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\) \(5\) \(0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2\) \(0,2 \cdot 0,2 = 0,04\) \(0,04 \cdot 0,2 = 0,008\)Шаг 5: Перемножим полученные значения.
\(9 \cdot 5 \cdot 0,008\) Сначала умножим целые числа: \(9 \cdot 5 = 45\) Теперь умножим результат на десятичную дробь: \(45 \cdot 0,008\) Чтобы умножить 45 на 0,008, можно умножить 45 на 8, а затем отделить три знака после запятой: \(45 \cdot 8 = 360\) Теперь отделим три знака после запятой: \(0,360\)Шаг 6: Запишем ответ в виде десятичной дроби.
\(0,360 = 0,36\)Полное решение:
Дано выражение: \(\sqrt{3^4 \cdot 5^2 \cdot 0,2^6}\) Используем свойство корня из произведения: \(\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}\) \[\sqrt{3^4 \cdot 5^2 \cdot 0,2^6} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{0,2^6}\] Используем свойство корня из степени: \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\) \[\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9\] \[\sqrt{5^2} = 5^{2/2} = 5^1 = 5\] \[\sqrt{0,2^6} = 0,2^{6/2} = 0,2^3\] Вычислим \(0,2^3\): \(0,2^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008\) Теперь перемножим полученные значения: \(9 \cdot 5 \cdot 0,008 = 45 \cdot 0,008\) \(45 \cdot 0,008 = 0,360 = 0,36\)Ответ:
\(0,36\)