Задача 7. Легкая
Арифметический квадратный корень
Вычислите: \(\sqrt{82^2 - 18^2}\).
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Это значительно упростит вычисления, чем возводить каждое число в квадрат по отдельности.Шаг 1: Применим формулу разности квадратов к выражению под корнем.
В нашем случае \(a = 82\) и \(b = 18\). Тогда \(82^2 - 18^2 = (82 - 18)(82 + 18)\).Шаг 2: Вычислим значения в скобках.
\(82 - 18 = 64\) \(82 + 18 = 100\)Шаг 3: Подставим полученные значения обратно в выражение под корнем.
\[\sqrt{(82 - 18)(82 + 18)} = \sqrt{64 \cdot 100}\]Шаг 4: Извлечем квадратный корень из произведения.
Используем свойство \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): \[\sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100}\]Шаг 5: Вычислим квадратные корни.
\(\sqrt{64} = 8\) (потому что \(8 \cdot 8 = 64\)) \(\sqrt{100} = 10\) (потому что \(10 \cdot 10 = 100\))Шаг 6: Перемножим полученные значения.
\(8 \cdot 10 = 80\)Полное решение:
Дано выражение: \(\sqrt{82^2 - 18^2}\) Используем формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)}\] Вычислим значения в скобках: \(82 - 18 = 64\) \(82 + 18 = 100\) Подставим эти значения обратно в выражение: \[\sqrt{64 \cdot 100}\] Используем свойство корня из произведения \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\): \[\sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{100}\] Вычислим квадратные корни: \(\sqrt{64} = 8\) \(\sqrt{100} = 10\) Перемножим результаты: \(8 \cdot 10 = 80\)Ответ:
\(80\)