Задача 1
Решите уравнение \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
Решение:
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\).
Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\] \[D = 4 + 12\] \[D = 16\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\] \[x_1 = \frac{2 + 4}{2}\] \[x_1 = \frac{6}{2}\] \[x_1 = 3\]\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1}\] \[x_2 = \frac{2 - 4}{2}\] \[x_2 = \frac{-2}{2}\] \[x_2 = -1\]
Ответ: Корни уравнения: \(-1\) и \(3\).
Задача 2
Решите уравнение \(x^2 = 12x\).
Введите произведение корней данного уравнения.
Решение:
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
\[x^2 - 12x = 0\]Вынесем \(x\) за скобки:
\[x(x - 12) = 0\]Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит:
\[x_1 = 0\]или
\[x - 12 = 0\] \[x_2 = 12\]Корни уравнения: \(0\) и \(12\).
Теперь найдем произведение корней:
\[x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 12 = 0\]Ответ: Произведение корней данного уравнения равно \(0\).
Задача 3
Решите уравнение \(x^2 + 6x + 3 = 0\).
Какое из следующих чисел является корнем данного уравнения?
Решение:
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 3\).
Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):
\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\] \[D = 36 - 12\] \[D = 24\]Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{24}}{2 \cdot 1}\] \[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{4 \cdot 6}}{2}\] \[x_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{6}}{2}\] \[x_1 = \frac{2(-3 + \sqrt{6})}{2}\] \[x_1 = -3 + \sqrt{6}\]\[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{24}}{2 \cdot 1}\] \[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{4 \cdot 6}}{2}\] \[x_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{6}}{2}\] \[x_2 = \frac{2(-3 - \sqrt{6})}{2}\] \[x_2 = -3 - \sqrt{6}\]
Теперь сравним полученные корни с предложенными вариантами:
- \(-6 + \sqrt{24}\)
- \(-3 - \sqrt{6}\)
- \(-2\)
- \(-\sqrt{24}\)
Один из наших корней \(-3 - \sqrt{6}\) совпадает с одним из вариантов.
Ответ: Корнем данного уравнения является число \(-3 - \sqrt{6}\).
Задача 4
Укажите уравнение, не имеющее решений.
Решение:
Квадратное уравнение не имеет действительных решений, если его дискриминант \(D\) меньше нуля (\(D < 0\)).
Рассмотрим каждое уравнение и найдем его дискриминант:
1. Уравнение: \(x^2 + 40x - 1 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = 40\), \(c = -1\).
\[D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1600 + 4 = 1604\]Так как \(D = 1604 > 0\), это уравнение имеет два действительных корня.
2. Уравнение: \(x^2 - 40x + 1 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -40\), \(c = 1\).
\[D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1600 - 4 = 1596\]Так как \(D = 1596 > 0\), это уравнение имеет два действительных корня.
3. Уравнение: \(x^2 + x + 40 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 40\).
\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 1 - 160 = -159\]Так как \(D = -159 < 0\), это уравнение не имеет действительных решений.
4. Уравнение: \(x^2 + x - 40 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -40\).
\[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 1 + 160 = 161\]Так как \(D = 161 > 0\), это уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: Уравнение, не имеющее решений, это \(x^2 + x + 40 = 0\).
Задача 5
При каких значениях \(x\) принимают равные значения многочлены \(3x^3 + 7x^2 - 10x - 70\) и \(3x(x + 1)^2 - 16x\)?
Решение:
Чтобы найти значения \(x\), при которых многочлены принимают равные значения, приравняем их:
\[3x^3 + 7x^2 - 10x - 70 = 3x(x + 1)^2 - 16x\]Сначала упростим правую часть уравнения:
\[3x(x + 1)^2 - 16x = 3x(x^2 + 2x + 1) - 16x\] \[= 3x^3 + 6x^2 + 3x - 16x\] \[= 3x^3 + 6x^2 - 13x\]Теперь подставим упрощенную правую часть обратно в уравнение:
\[3x^3 + 7x^2 - 10x - 70 = 3x^3 + 6x^2 - 13x\]Перенесем все члены в левую часть уравнения:
\[3x^3 + 7x^2 - 10x - 70 - (3x^3 + 6x^2 - 13x) = 0\] \[3x^3 + 7x^2 - 10x - 70 - 3x^3 - 6x^2 + 13x = 0\]Приведем подобные члены:
\[(3x^3 - 3x^3) + (7x^2 - 6x^2) + (-10x + 13x) - 70 = 0\] \[0 + x^2 + 3x - 70 = 0\] \[x^2 + 3x - 70 = 0\]Получили квадратное уравнение. Найдем его корни. Здесь \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -70\).
Найдем дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70)\] \[D = 9 + 280\] \[D = 289\]Найдем корни уравнения:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1}\] \[x_1 = \frac{-3 + 17}{2}\] \[x_1 = \frac{14}{2}\] \[x_1 = 7\]\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1}\] \[x_2 = \frac{-3 - 17}{2}\] \[x_2 = \frac{-20}{2}\] \[x_2 = -10\]
Ответ: Многочлены принимают равные значения при \(x = 7\) и \(x = -10\).