Задача 1
В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16. Чему равна его гипотенуза?
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пусть катеты равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\).
По условию задачи:
- \(a = 12\)
- \(b = 16\)
Формула теоремы Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]Подставим известные значения в формулу:
\[c^2 = 12^2 + 16^2\]Вычислим квадраты катетов:
\[12^2 = 12 \times 12 = 144\] \[16^2 = 16 \times 16 = 256\]Теперь сложим полученные значения:
\[c^2 = 144 + 256\] \[c^2 = 400\]Чтобы найти гипотенузу \(c\), нужно извлечь квадратный корень из 400:
\[c = \sqrt{400}\] \[c = 20\]Ответ: 20
Задача 2
В прямоугольнике \(ABCD\) смежные стороны относятся как 12 : 5, а его диагональ равна 65. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?
Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). По условию задачи, их отношение равно 12 : 5. Это значит, что мы можем записать стороны как \(12x\) и \(5x\), где \(x\) - некоторый коэффициент.
Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Диагональ является гипотенузой этих треугольников, а стороны прямоугольника - их катетами.
По условию задачи:
- Стороны: \(a = 12x\), \(b = 5x\)
- Диагональ (гипотенуза): \(d = 65\)
Применим теорему Пифагора:
\[d^2 = a^2 + b^2\]Подставим выражения для сторон и значение диагонали:
\[65^2 = (12x)^2 + (5x)^2\]Вычислим квадраты:
\[65^2 = 65 \times 65 = 4225\] \[(12x)^2 = 144x^2\] \[(5x)^2 = 25x^2\]Подставим обратно в уравнение:
\[4225 = 144x^2 + 25x^2\]Сложим члены с \(x^2\):
\[4225 = (144 + 25)x^2\] \[4225 = 169x^2\]Чтобы найти \(x^2\), разделим 4225 на 169:
\[x^2 = \frac{4225}{169}\] \[x^2 = 25\]Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(x\):
\[x = \sqrt{25}\] \[x = 5\]Теперь найдем длины сторон прямоугольника:
\[a = 12x = 12 \times 5 = 60\] \[b = 5x = 5 \times 5 = 25\]Меньшая сторона прямоугольника равна 25.
Ответ: 25
Задача 3
Диагонали ромба равны 14 и 48. Чему равна сторона ромба?
Решение:
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник, где сторона ромба является гипотенузой, а половинки диагоналей - катетами.
Пусть диагонали ромба равны \(d_1\) и \(d_2\), а сторона ромба равна \(a\).
По условию задачи:
- \(d_1 = 14\)
- \(d_2 = 48\)
Найдем половинки диагоналей:
\[\frac{d_1}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[\frac{d_2}{2} = \frac{48}{2} = 24\]Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинками диагоналей и стороной ромба:
\[a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2\]Подставим значения:
\[a^2 = 7^2 + 24^2\]Вычислим квадраты:
\[7^2 = 7 \times 7 = 49\] \[24^2 = 24 \times 24 = 576\]Сложим полученные значения:
\[a^2 = 49 + 576\] \[a^2 = 625\]Чтобы найти сторону ромба \(a\), извлечем квадратный корень из 625:
\[a = \sqrt{625}\] \[a = 25\]Ответ: 25
Задача 4
Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13, а большее основание - 12. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно 5.
Решение:
Прямоугольная трапеция имеет одну из боковых сторон перпендикулярной основаниям. Эта боковая сторона является высотой трапеции.
Пусть:
- Большее основание \(a = 12\)
- Меньшее основание \(b = 5\)
- Большая диагональ \(d = 13\)
- Высота трапеции \(h\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю, высотой трапеции и частью большего основания. Часть большего основания, которая является катетом этого треугольника, равна самому большему основанию, так как большая диагональ соединяет вершину меньшего основания с вершиной большего основания, расположенной на той же стороне, что и высота.
В этом прямоугольном треугольнике:
- Гипотенуза = большая диагональ = 13
- Один катет = большее основание = 12
- Второй катет = высота трапеции = \(h\)
Применим теорему Пифагора:
\[d^2 = a^2 + h^2\] \[13^2 = 12^2 + h^2\]Вычислим квадраты:
\[13^2 = 169\] \[12^2 = 144\]Подставим в уравнение:
\[169 = 144 + h^2\]Найдем \(h^2\):
\[h^2 = 169 - 144\] \[h^2 = 25\]Извлечем квадратный корень, чтобы найти высоту \(h\):
\[h = \sqrt{25}\] \[h = 5\]Теперь, когда мы знаем высоту трапеции, можем найти её площадь. Формула площади трапеции:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]Подставим известные значения:
\[S = \frac{12 + 5}{2} \times 5\] \[S = \frac{17}{2} \times 5\] \[S = 8.5 \times 5\] \[S = 42.5\]Ответ: 42.5
Задача 5
Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза равна \(3\sqrt{2}\). Чему равна сумма катетов данного треугольника?
Решение:
Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°.
Пусть один из внешних углов равен 135°. Тогда смежный с ним внутренний острый угол треугольника равен:
\[\alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\]Так как треугольник прямоугольный, один из его углов равен 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Если один острый угол равен 45°, то второй острый угол равен:
\[\beta = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\]Поскольку оба острых угла равны 45°, это означает, что прямоугольный треугольник является равнобедренным. То есть, его катеты равны.
Пусть катеты равны \(a\). Гипотенуза \(c = 3\sqrt{2}\).
Применим теорему Пифагора:
\[c^2 = a^2 + a^2\] \[c^2 = 2a^2\]Подставим значение гипотенузы:
\[(3\sqrt{2})^2 = 2a^2\]Вычислим квадрат гипотенузы:
\[(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\]Теперь уравнение выглядит так:
\[18 = 2a^2\]Найдем \(a^2\):
\[a^2 = \frac{18}{2}\] \[a^2 = 9\]Извлечем квадратный корень, чтобы найти катет \(a\):
\[a = \sqrt{9}\] \[a = 3\]Так как катеты равны, оба катета равны 3.
Нам нужно найти сумму катетов:
\[\text{Сумма катетов} = a + a = 3 + 3 = 6\]Ответ: 6