Задача 1
Основания трапеции равны 6 и 8, её высота - 7. Чему равна площадь трапеции?
Решение:
Для нахождения площади трапеции используется формула:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - её высота.
По условию задачи нам даны следующие значения:
- Первое основание \(a = 6\)
- Второе основание \(b = 8\)
- Высота \(h = 7\)
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{6 + 8}{2} \times 7\]Сначала вычислим сумму оснований:
\[6 + 8 = 14\]Затем разделим сумму на 2:
\[\frac{14}{2} = 7\]И, наконец, умножим на высоту:
\[S = 7 \times 7\] \[S = 49\]Ответ: 49
Задача 2
В равнобедренной трапеции основания равны 16 и 22, а угол при основании равен 45°. Чему равна площадь трапеции?
Решение:
Для нахождения площади трапеции нам нужны длины оснований и высота. Основания нам даны: \(a = 22\) (большее основание) и \(b = 16\) (меньшее основание).
Нам нужно найти высоту \(h\).
В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее основание, то большее основание разделится на три отрезка. Два крайних отрезка будут равны, а средний отрезок будет равен меньшему основанию.
Длина каждого из крайних отрезков (\(x\)) вычисляется по формуле:
\[x = \frac{a - b}{2}\]Подставим значения оснований:
\[x = \frac{22 - 16}{2}\] \[x = \frac{6}{2}\] \[x = 3\]Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и отрезком \(x\).
Угол при основании трапеции равен 45°. В этом прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45°. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то второй острый угол также равен \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
Это означает, что прямоугольный треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Один катет - это отрезок \(x\), а другой катет - это высота \(h\).
Следовательно, \(h = x\).
Мы нашли \(x = 3\), значит, высота \(h = 3\).
Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, найдем площадь трапеции по формуле:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]Подставим значения:
\[S = \frac{22 + 16}{2} \times 3\] \[S = \frac{38}{2} \times 3\] \[S = 19 \times 3\] \[S = 57\]Ответ: 57
Задача 3
В прямоугольной трапеции основания равны 7 см и 13 см, а меньшая боковая сторона - 4. Чему равна площадь трапеции?
Решение:
В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона и является высотой трапеции.
По условию задачи:
- Большее основание \(a = 13\) см
- Меньшее основание \(b = 7\) см
- Меньшая боковая сторона = 4. Поскольку это прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона является высотой \(h\). Значит, \(h = 4\) см.
Для нахождения площади трапеции используем формулу:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]Подставим известные значения в формулу:
\[S = \frac{13 + 7}{2} \times 4\]Сначала вычислим сумму оснований:
\[13 + 7 = 20\]Затем разделим сумму на 2:
\[\frac{20}{2} = 10\]И, наконец, умножим на высоту:
\[S = 10 \times 4\] \[S = 40\]Ответ: 40
Задача 4
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 45 и 42. Чему равна площадь трапеции?
Решение:
Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то её площадь можно найти по формуле:
\[S = \frac{d_1 \times d_2}{2}\]где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей трапеции.
По условию задачи нам даны длины диагоналей:
- \(d_1 = 45\)
- \(d_2 = 42\)
Подставим эти значения в формулу:
\[S = \frac{45 \times 42}{2}\]Сначала умножим диагонали:
\[45 \times 42 = 1890\]Затем разделим результат на 2:
\[S = \frac{1890}{2}\] \[S = 945\]Ответ: 945
Задача 5
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 36. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 11.
Решение:
Пусть \(a\) - большее основание, \(b\) - меньшее основание, \(h\) - высота трапеции.
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Длина большего из этих отрезков равна полусумме оснований, то есть \(\frac{a+b}{2}\).
По условию задачи:
- Больший отрезок, на который высота делит большее основание, равен 36.
- Высота трапеции \(h = 11\).
Мы знаем, что площадь трапеции вычисляется по формуле:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]Из условия задачи нам дано, что \(\frac{a + b}{2} = 36\).
Теперь мы можем просто подставить это значение и высоту в формулу площади:
\[S = 36 \times 11\]Вычислим произведение:
\[S = 396\]Ответ: 396