Решение задачи: Площадь равнобедренной трапеции

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Задача. Площадь равнобедренной трапеции

Условие: В равнобедренной трапеции ABCD угол A равен \(45^\circ\), меньшее основание BC равно 4 и разность между основаниями AD и BC равна 2. Найдите площадь трапеции. Решение: Для нахождения площади трапеции используется формула: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где \(S\) - площадь трапеции, \(a\) и \(b\) - длины оснований, \(h\) - высота трапеции. В нашей задаче дано: Трапеция ABCD - равнобедренная. Угол \(\angle A = 45^\circ\). Меньшее основание \(BC = 4\). Разность между основаниями \(AD - BC = 2\). Сначала найдем длину большего основания AD. Из условия \(AD - BC = 2\), подставим \(BC = 4\): \[AD - 4 = 2\] \[AD = 2 + 4\] \[AD = 6\] Теперь у нас есть длины обоих оснований: \(BC = 4\) и \(AD = 6\). Далее нам нужно найти высоту трапеции \(h\). В равнобедренной трапеции проведем две высоты из вершин B и C к большему основанию AD. Обозначим точки пересечения как E и F соответственно. Тогда BCFE будет прямоугольником, и \(EF = BC = 4\). Отрезки AE и FD будут равны, так как трапеция равнобедренная. Сумма этих отрезков равна \(AD - EF\): \[AE + FD = AD - EF\] \[AE + FD = 6 - 4\] \[AE + FD = 2\] Так как \(AE = FD\), то: \[2 \cdot AE = 2\] \[AE = 1\] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABE. Угол \(\angle A = 45^\circ\). Отрезок \(AE = 1\). Высота \(h = BE\). В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\), другой острый угол также равен \(45^\circ\) (\(180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)). Это означает, что треугольник ABE является равнобедренным, и катеты равны: \(BE = AE\). Следовательно, высота \(h = BE = 1\). Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, подставим их в формулу площади трапеции: \[S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h\] \[S = \frac{6 + 4}{2} \cdot 1\] \[S = \frac{10}{2} \cdot 1\] \[S = 5 \cdot 1\] \[S = 5\] Ответ: Площадь трапеции равна 5.