Задание 11.
На рисунках изображены графики функций вида \( y = kx + b \). Установите соответствие между знаками коэффициентов \( k \) и \( b \) и графиками функций.
Вспомним, как коэффициенты \( k \) и \( b \) влияют на график линейной функции \( y = kx + b \):
- Коэффициент \( k \) (угловой коэффициент) определяет наклон прямой:
- Если \( k > 0 \), прямая возрастает (идет вверх слева направо).
- Если \( k < 0 \), прямая убывает (идет вниз слева направо).
- Коэффициент \( b \) (свободный член) определяет точку пересечения прямой с осью \( y \):
- Если \( b > 0 \), прямая пересекает ось \( y \) выше начала координат.
- Если \( b < 0 \), прямая пересекает ось \( y \) ниже начала координат.
- Если \( b = 0 \), прямая проходит через начало координат.
Рассмотрим каждый график:
График 1:
- Прямая убывает (идет вниз слева направо), значит \( k < 0 \).
- Прямая пересекает ось \( y \) ниже начала координат, значит \( b < 0 \).
- Соответствует коэффициентам: В) \( k < 0, b < 0 \).
График 2:
- Прямая возрастает (идет вверх слева направо), значит \( k > 0 \).
- Прямая пересекает ось \( y \) выше начала координат, значит \( b > 0 \).
- Соответствует коэффициентам: Б) \( k > 0, b > 0 \).
График 3:
- Прямая возрастает (идет вверх слева направо), значит \( k > 0 \).
- Прямая пересекает ось \( y \) ниже начала координат, значит \( b < 0 \).
- Соответствует коэффициентам: А) \( k > 0, b < 0 \).
Теперь заполним таблицу соответствия:
- А) \( k > 0, b < 0 \) - График 3
- Б) \( k > 0, b > 0 \) - График 2
- В) \( k < 0, b < 0 \) - График 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер:
| А | Б | В |
| 3 | 2 | 1 |
Последовательность цифр: 321.
Ответ: 321
Задание 12.
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле \( P = I^2R \), где \( I \) - сила тока (в амперах), \( R \) - сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление \( R \), если мощность составляет 283,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.
Дана формула: \( P = I^2R \).
Известны значения:
- Мощность \( P = 283,5 \) Вт.
- Сила тока \( I = 4,5 \) А.
Нужно найти сопротивление \( R \).
1. Выразим \( R \) из формулы:
\( R = \frac{P}{I^2} \).2. Подставим известные значения в формулу:
\( R = \frac{283,5}{(4,5)^2} \).3. Вычислим \( (4,5)^2 \):
\( (4,5)^2 = 4,5 \times 4,5 = 20,25 \).4. Теперь вычислим \( R \):
\( R = \frac{283,5}{20,25} \).5. Выполним деление:
\( R = 14 \).Ответ: 14
Задание 13.
Укажите решение неравенства: \( 6x - 7 < 8x - 9 \).
1. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а свободные члены - в другую.
Перенесем \( 8x \) из правой части в левую, а \( -7 \) из левой части в правую. \( 6x - 8x < -9 + 7 \).2. Выполним вычитание:
\( -2x < -2 \).3. Разделим обе части неравенства на \( -2 \). Важно: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
\( \frac{-2x}{-2} > \frac{-2}{-2} \). \( x > 1 \).4. Запишем решение в виде интервала. Все числа, которые больше 1, образуют интервал от 1 до плюс бесконечности, не включая 1.
\( (1; +\infty) \).5. Сравним с предложенными вариантами:
1) \( (-\infty; 8) \) 2) \( (-\infty; 1) \) 3) \( (8; +\infty) \) 4) \( (1; +\infty) \) - это верный вариант.Ответ: 4
Задание 14.
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 14 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Это задача на арифметическую прогрессию.
- Количество рядов \( n = 10 \).
- Количество мест в первом ряду \( a_1 = 14 \).
- Разность прогрессии \( d = 2 \) (в каждом следующем ряду на 2 места больше).
Нужно найти сумму всех мест в амфитеатре, то есть сумму первых 10 членов арифметической прогрессии \( S_n \).
Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
1. Найдем количество мест в последнем (10-м) ряду \( a_{10} \):
\( a_{10} = 14 + (10-1) \times 2 = 14 + 9 \times 2 = 14 + 18 = 32 \).Формула для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \).
2. Найдем сумму всех мест \( S_{10} \):
\( S_{10} = \frac{(14 + 32) \times 10}{2} = \frac{46 \times 10}{2} = \frac{460}{2} = 230 \).Ответ: 230
Задание 15.
В треугольнике два угла равны \( 61^\circ \) и \( 38^\circ \). Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \).
Пусть данные углы будут \( \alpha = 61^\circ \) и \( \beta = 38^\circ \). Третий угол обозначим \( \gamma \).
Тогда \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).
1. Подставим известные значения:
\( 61^\circ + 38^\circ + \gamma = 180^\circ \).2. Сложим известные углы:
\( 99^\circ + \gamma = 180^\circ \).3. Найдем \( \gamma \):
\( \gamma = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ \).Ответ: 81
Задание 16.
Угол \( A \) трапеции \( ABCD \) с основаниями \( AD \) и \( BC \), вписанной в окружность, равен \( 61^\circ \). Найдите угол \( B \) этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. То есть \( \angle A = \angle D \) и \( \angle B = \angle C \).
Также, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^\circ \). То есть \( \angle A + \angle B = 180^\circ \) и \( \angle D + \angle C = 180^\circ \).
Дано: \( \angle A = 61^\circ \).
Нужно найти \( \angle B \).
Используем свойство, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \( 180^\circ \):
\( \angle A + \angle B = 180^\circ \).
Подставим значение \( \angle A \):
\( 61^\circ + \angle B = 180^\circ \).
\( \angle B = 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ \).
Ответ: 119
Задание 17.
Один из углов параллелограмма равен \( 114^\circ \). Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме:
- Противоположные углы равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^\circ \).
Дано, что один из углов равен \( 114^\circ \). Так как \( 114^\circ > 90^\circ \), это тупой угол.
Пусть \( \alpha = 114^\circ \).
Тогда соседний с ним угол \( \beta \) будет равен:
\( \alpha + \beta = 180^\circ \).
\( 114^\circ + \beta = 180^\circ \).
\( \beta = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ \).
Углы параллелограмма будут \( 114^\circ, 66^\circ, 114^\circ, 66^\circ \).
Меньший угол из них - \( 66^\circ \).
Ответ: 66
Задание 18.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Для нахождения площади треугольника на клетчатой бумаге можно использовать формулу Пика, но проще использовать стандартную формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).
Посмотрим на изображение треугольника:
1. Выберем горизонтальную сторону в качестве основания. Длина основания (посчитаем клетки) равна 7 клеткам.
2. Высота, опущенная на это основание, - это перпендикуляр от противоположной вершины до линии, содержащей основание. Высота (посчитаем клетки) равна 10 клеткам.
Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times 7 \times 10 = \frac{1}{2} \times 70 = 35 \).
Ответ: 35
Задание 19.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
- Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
- Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон (длины и ширины).
- Так как у квадрата смежные стороны равны, то его площадь равна \( a \times a = a^2 \), где \( a \) - длина стороны. Это произведение двух смежных сторон.
- Утверждение верно.
2) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
- Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \).
- Предположим, что все углы треугольника больше \( 60^\circ \). Например, \( 61^\circ, 61^\circ, 61^\circ \). Сумма будет \( 183^\circ \), что невозможно.
- Если все углы равны \( 60^\circ \) (равносторонний треугольник), то каждый угол не превышает \( 60^\circ \).
- Если один угол больше \( 60^\circ \), то хотя бы один из оставшихся должен быть меньше \( 60^\circ \) (чтобы сумма оставалась \( 180^\circ \)). Например, \( 90^\circ, 45^\circ, 45^\circ \). Здесь два угла не превышают \( 60^\circ \).
- Таким образом, в любом треугольнике всегда найдется хотя бы один угол, который меньше или равен \( 60^\circ \).
- Утверждение верно.
3) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
- Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
- Параллельные прямые никогда не пересекаются и не могут быть перпендикулярными (перпендикулярные прямые пересекаются под углом \( 90^\circ \)).
- Утверждение неверно.
Верными являются утверждения 1 и 2.
Ответ: 12