ЧАСТЬ 2
При выполнении заданий 20-25 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ №2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво.
Задание 20.
Решите уравнение: \( x^2 - 2x + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + 15 \).
1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \( x \).
Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( 4-x \ge 0 \). Отсюда \( x \le 4 \).2. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы упростить уравнение.
\( x^2 - 2x + \sqrt{4-x} - \sqrt{4-x} - 15 = 0 \).3. Заметим, что члены \( \sqrt{4-x} \) и \( -\sqrt{4-x} \) взаимно уничтожаются.
\( x^2 - 2x - 15 = 0 \).4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета.
Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( D = b^2 - 4ac \). В нашем уравнении \( a=1, b=-2, c=-15 \). Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-15) = 4 + 60 = 64 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \).5. Найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-2) + 8}{2 \times 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). \( x_2 = \frac{-(-2) - 8}{2 \times 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).6. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ \( x \le 4 \).
Для \( x_1 = 5 \): \( 5 \le 4 \) - это неверно. Значит, \( x_1 = 5 \) не является решением уравнения. Для \( x_2 = -3 \): \( -3 \le 4 \) - это верно. Значит, \( x_2 = -3 \) является решением уравнения.Ответ: -3
Задание 21.
Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км - со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км - со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Формула для средней скорости: \( V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} \), где \( S_{общ} \) - общий пройденный путь, а \( T_{общ} \) - общее время в пути.
1. Найдем общий пройденный путь \( S_{общ} \).
\( S_{общ} = 160 \text{ км} + 100 \text{ км} + 360 \text{ км} = 620 \text{ км} \).2. Найдем время, затраченное на каждом участке пути.
Формула времени: \( T = \frac{S}{V} \). Время на первом участке \( T_1 = \frac{160 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч} \). Время на втором участке \( T_2 = \frac{100 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч} \). Время на третьем участке \( T_3 = \frac{360 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч} \).3. Найдем общее время в пути \( T_{общ} \).
\( T_{общ} = T_1 + T_2 + T_3 = 2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 8 \text{ ч} \).4. Вычислим среднюю скорость.
\( V_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{620 \text{ км}}{8 \text{ ч}} \). \( V_{ср} = 77,5 \text{ км/ч} \).Ответ: 77,5
Задание 22.
Постройте график функции: \[ y = \begin{cases} x - 0,5, & \text{если } x < -2 \\ -2x - 6,5, & \text{если } -2 \le x \le -1 \\ x - 3,5, & \text{если } x > -1 \end{cases} \] Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Построим график функции по частям.
1. Первая часть: \( y = x - 0,5 \), если \( x < -2 \).
Это прямая линия. Найдем несколько точек для построения: При \( x = -2 \) (не входит в интервал, но используем для границы): \( y = -2 - 0,5 = -2,5 \). Точка \( (-2; -2,5) \) - выколотая. При \( x = -3 \): \( y = -3 - 0,5 = -3,5 \). Точка \( (-3; -3,5) \). При \( x = -4 \): \( y = -4 - 0,5 = -4,5 \). Точка \( (-4; -4,5) \). Эта часть графика - луч, идущий из точки \( (-2; -2,5) \) влево-вниз.2. Вторая часть: \( y = -2x - 6,5 \), если \( -2 \le x \le -1 \).
Это прямая линия. Найдем точки для границ интервала: При \( x = -2 \): \( y = -2(-2) - 6,5 = 4 - 6,5 = -2,5 \). Точка \( (-2; -2,5) \) - закрашенная. При \( x = -1 \): \( y = -2(-1) - 6,5 = 2 - 6,5 = -4,5 \). Точка \( (-1; -4,5) \) - закрашенная. Эта часть графика - отрезок, соединяющий точки \( (-2; -2,5) \) и \( (-1; -4,5) \).3. Третья часть: \( y = x - 3,5 \), если \( x > -1 \).
Это прямая линия. Найдем несколько точек для построения: При \( x = -1 \) (не входит в интервал, но используем для границы): \( y = -1 - 3,5 = -4,5 \). Точка \( (-1; -4,5) \) - выколотая. При \( x = 0 \): \( y = 0 - 3,5 = -3,5 \). Точка \( (0; -3,5) \). При \( x = 1 \): \( y = 1 - 3,5 = -2,5 \). Точка \( (1; -2,5) \). Эта часть графика - луч, идущий из точки \( (-1; -4,5) \) вправо-вверх.Теперь проанализируем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) (горизонтальная прямая) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Построим график и посмотрим на него:
- Левый луч идет от \( y = -2,5 \) вниз.
- Средний отрезок соединяет \( (-2; -2,5) \) и \( (-1; -4,5) \).
- Правый луч идет от \( y = -4,5 \) вверх.
Наблюдаем следующие интервалы для \( y \):
- Если \( y < -4,5 \), то прямая \( y = m \) пересекает только левый луч. Это одна точка.
- Если \( y = -4,5 \), то прямая \( y = m \) проходит через точку \( (-1; -4,5) \). Эта точка принадлежит среднему отрезку и является началом правого луча. Таким образом, это одна точка.
- Если \( -4,5 < y < -2,5 \), то прямая \( y = m \) пересекает левый луч, средний отрезок и правый луч. Это три точки.
- Если \( y = -2,5 \), то прямая \( y = m \) проходит через точку \( (-2; -2,5) \). Эта точка является концом левого луча и началом среднего отрезка. Также правый луч пересекает \( y = -2,5 \) в точке \( (1; -2,5) \). Таким образом, это две точки.
- Если \( y > -2,5 \), то прямая \( y = m \) пересекает только правый луч. Это одна точка.
Итак, прямая \( y = m \) имеет ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:
- Когда \( m < -4,5 \) (пересекает только левый луч).
- Когда \( m = -4,5 \) (пересекает в точке \( (-1; -4,5) \)).
- Когда \( m > -2,5 \) (пересекает только правый луч).
Объединим эти интервалы:
\( (-\infty; -4,5] \cup (-2,5; +\infty) \).
Ответ: \( (-\infty; -4,5] \cup (-2,5; +\infty) \)
Задание 23.
Отрезки \( AB \) и \( DC \) лежат на параллельных прямых, а отрезки \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( M \). Найдите \( MC \), если \( AB = 13, DC = 65, AC = 42 \).
Дано:
- Прямые, на которых лежат \( AB \) и \( DC \), параллельны. То есть \( AB \parallel DC \).
- Отрезки \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( M \).
- \( AB = 13 \).
- \( DC = 65 \).
- \( AC = 42 \).
Нужно найти \( MC \).
Рассмотрим треугольники \( \triangle AMB \) и \( \triangle CMD \).
Поскольку \( AB \parallel DC \), то:
- Углы \( \angle BAM \) и \( \angle DCM \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( AC \). Значит, \( \angle BAM = \angle DCM \).
- Углы \( \angle ABM \) и \( \angle CDM \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( AB \) и \( DC \) и секущей \( BD \). Значит, \( \angle ABM = \angle CDM \).
- Углы \( \angle AMB \) и \( \angle CMD \) являются вертикальными. Значит, \( \angle AMB = \angle CMD \).
Из этого следует, что треугольники \( \triangle AMB \) и \( \triangle CMD \) подобны по трем углам (или по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
\( \frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} = \frac{AB}{CD} \).
Нам известны \( AB \), \( CD \) и \( AC \). Нужно найти \( MC \).
Используем отношение \( \frac{AM}{CM} = \frac{AB}{CD} \).
Пусть \( MC = x \). Тогда \( AM = AC - MC = 42 - x \).
Подставим известные значения в пропорцию:
\( \frac{42 - x}{x} = \frac{13}{65} \).
Упростим дробь \( \frac{13}{65} \): \( \frac{13}{65} = \frac{1}{5} \).
Теперь уравнение выглядит так:
\( \frac{42 - x}{x} = \frac{1}{5} \).
Решим это уравнение, умножив крест-накрест:
\( 5(42 - x) = 1 \cdot x \).
\( 210 - 5x = x \).
Перенесем \( -5x \) в правую часть:
\( 210 = x + 5x \).
\( 210 = 6x \).
Найдем \( x \):
\( x = \frac{210}{6} = 35 \).
Таким образом, \( MC = 35 \).
Ответ: 35
Задание 24.
Известно, что около четырёхугольника \( ABCD \) можно описать окружность и что продолжения сторон \( AD \) и \( BC \) четырёхугольника пересекаются в точке \( K \). Докажите, что треугольники \( KAB \) и \( KCD \) подобны.
Дано:
- Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность.
- Продолжения сторон \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( K \).
Доказать: \( \triangle KAB \sim \triangle KCD \).
Доказательство:
1. Рассмотрим четырёхугольник \( ABCD \), вписанный в окружность. Свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \). То есть \( \angle A + \angle C = 180^\circ \) и \( \angle B + \angle D = 180^\circ \).
2. Рассмотрим угол \( \angle KAB \). Он является смежным с углом \( \angle DAB \) (или \( \angle A \)). Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \), поэтому \( \angle KAB + \angle DAB = 180^\circ \).
3. Из пункта 1 мы знаем, что \( \angle BCD + \angle DAB = 180^\circ \). То есть \( \angle C + \angle A = 180^\circ \).
4. Сравнивая выражения для \( \angle KAB \) и \( \angle BCD \): \( \angle KAB = 180^\circ - \angle DAB \). \( \angle BCD = 180^\circ - \angle DAB \). Следовательно, \( \angle KAB = \angle BCD \).
(Это свойство: внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему противоположному углу).5. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle KAB \) и \( \triangle KCD \).
У них есть общий угол \( \angle K \). Мы доказали, что \( \angle KAB = \angle BCD \).