Решение задач 1-10 с подробным описанием

Вот решения задач с подробным описанием: 1. На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером \(1 \text{ м} \times 1 \text{ м}\). Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов. Объекты: жилой дом, баня, гараж, теплица. Решение: По условию задачи: * Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м. На плане это объект 2. * Слева от ворот находится гараж. На плане это объект 4. * Чуть подальше от сарая — жилой дом. На плане это объект 7. * На участке есть баня, к которой ведет дорожка. На плане это объект 5. * Огород отмечен на плане цифрой 6. Внутри огорода находится теплица. На плане это объект 1. Таким образом: * Жилой дом — 7 * Баня — 5 * Гараж — 4 * Теплица — 1 Ответ: 7541 2. Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки? Решение: Сторона каждой клетки на плане равна 2 м. Дорожки имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером \(1 \text{ м} \times 1 \text{ м}\). Это означает, что на каждой клетке, по которой проходит дорожка, помещается 2 плитки (поскольку ширина дорожки 1 м, а сторона клетки 2 м, то на 2 м длины дорожки приходится 2 плитки). Посчитаем количество клеток, занятых дорожками и площадкой: * Дорожка от ворот к жилому дому: 10 клеток. * Дорожка от жилого дома к бане: 3 клетки. * Площадка между гаражом и сараем: 3 клетки. * Дорожка от площадки к огороду: 2 клетки. Общее количество клеток, занятых плиткой: \(10 + 3 + 3 + 2 = 18\) клеток. Каждая клетка имеет длину 2 м. Ширина дорожки 1 м. Значит, на каждой клетке, по которой проходит дорожка, укладывается \(2 \text{ м} / 1 \text{ м} = 2\) плитки. Общее количество плиток: \(18 \text{ клеток} \times 2 \text{ плитки/клетка} = 36\) плиток. Плитки продаются в упаковках по 6 штук. Количество упаковок: \(36 \text{ плиток} / 6 \text{ плиток/упаковка} = 6\) упаковок. Ответ: 6 3. Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах. Решение: Сторона каждой клетки на плане равна 2 м. Площадь одной клетки: \(2 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 4 \text{ кв. м}\). Гараж обозначен цифрой 4 на плане. Посчитаем количество клеток, которые занимает гараж. Гараж занимает 6 клеток. Площадь гаража: \(6 \text{ клеток} \times 4 \text{ кв. м/клетка} = 24 \text{ кв. м}\). Ответ: 24 4. На сколько процентов площадь, которую занимает баня, меньше площади, которую занимает гараж? Решение: Сторона каждой клетки на плане равна 2 м. Площадь одной клетки: \(2 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 4 \text{ кв. м}\). Найдем площадь гаража: Гараж (объект 4) занимает 6 клеток. Площадь гаража: \(6 \text{ клеток} \times 4 \text{ кв. м/клетка} = 24 \text{ кв. м}\). Найдем площадь бани: Баня (объект 5) занимает 4 клетки. Площадь бани: \(4 \text{ клетки} \times 4 \text{ кв. м/клетка} = 16 \text{ кв. м}\). Найдем, на сколько площадь бани меньше площади гаража: Разница в площади: \(24 \text{ кв. м} - 16 \text{ кв. м} = 8 \text{ кв. м}\). Найдем, на сколько процентов площадь бани меньше площади гаража: \[ \frac{\text{Разница в площади}}{\text{Площадь гаража}} \times 100\% = \frac{8}{24} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% \approx 33.33\% \] Округлим до целых процентов, если не указано иное. Обычно в таких задачах подразумевается округление до целых. Ответ: 33.33 (или 33, если требуется округление до целых) 5. Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования? Таблица: | Вариант отопления | Нагреватель (котел) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа/средн. потр. мощность | Стоимость газа/электроэнергии | |---|---|---|---|---| | Газовое отопление | 25 000 руб. | 17 552 руб. | 1,3 куб. м/ч | 5,2 руб./куб. м | | Электр. отопление | 21 000 руб. | 15 000 руб. | 5,2 кВт | 4,1 руб./(кВт·ч) | Решение: 1. Найдем общую стоимость установки газового отопления: \(25000 \text{ руб.} + 17552 \text{ руб.} = 42552 \text{ руб.}\) 2. Найдем общую стоимость установки электрического отопления: \(21000 \text{ руб.} + 15000 \text{ руб.} = 36000 \text{ руб.}\) 3. Найдем разницу в стоимости установки: \(42552 \text{ руб.} - 36000 \text{ руб.} = 6552 \text{ руб.}\) Это сумма, которую нужно компенсировать за счет экономии на эксплуатации. 4. Найдем стоимость 1 часа работы газового отопления: \(1.3 \text{ куб. м/ч} \times 5.2 \text{ руб./куб. м} = 6.76 \text{ руб./ч}\) 5. Найдем стоимость 1 часа работы электрического отопления: \(5.2 \text{ кВт} \times 4.1 \text{ руб./(кВт·ч)} = 21.32 \text{ руб./ч}\) 6. Найдем экономию в час при использовании газового отопления вместо электрического: \(21.32 \text{ руб./ч} - 6.76 \text{ руб./ч} = 14.56 \text{ руб./ч}\) 7. Найдем количество часов, за которое окупится разница в стоимости установки: \[ \frac{\text{Разница в стоимости установки}}{\text{Экономия в час}} = \frac{6552 \text{ руб.}}{14.56 \text{ руб./ч}} = 450 \text{ часов} \] Ответ: 450 6. Найдите значение выражения \(1 \frac{8}{17} : \left( \frac{12}{17} + 2 \frac{7}{11} \right)\). Решение: 1. Переведем смешанные дроби в неправильные: \(1 \frac{8}{17} = \frac{1 \times 17 + 8}{17} = \frac{17 + 8}{17} = \frac{25}{17}\) \(2 \frac{7}{11} = \frac{2 \times 11 + 7}{11} = \frac{22 + 7}{11} = \frac{29}{11}\) 2. Выполним сложение в скобках: \[ \frac{12}{17} + \frac{29}{11} \] Найдем общий знаменатель для 17 и 11. Поскольку 17 и 11 — простые числа, их общий знаменатель равен их произведению: \(17 \times 11 = 187\). \[ \frac{12 \times 11}{17 \times 11} + \frac{29 \times 17}{11 \times 17} = \frac{132}{187} + \frac{493}{187} = \frac{132 + 493}{187} = \frac{625}{187} \] 3. Выполним деление: \[ \frac{25}{17} : \frac{625}{187} \] Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: \[ \frac{25}{17} \times \frac{187}{625} \] Заметим, что \(187 = 17 \times 11\) и \(625 = 25 \times 25\). \[ \frac{25}{17} \times \frac{17 \times 11}{25 \times 25} \] Сократим 25 и 17: \[ \frac{1}{1} \times \frac{1 \times 11}{1 \times 25} = \frac{11}{25} \] 4. Переведем дробь в десятичную: \[ \frac{11}{25} = \frac{11 \times 4}{25 \times 4} = \frac{44}{100} = 0.44 \] Ответ: 0.44 7. На координатной прямой изображены числа \(a\) и \(c\). Какое из следующих неравенств неверно? В ответе укажите номер правильного варианта. Изображение: координатная прямая с точками \(c\) и \(a\), где \(c\) находится левее 0, а \(a\) правее 0, и \(a > |c|\). Например, \(c \approx -2\), \(a \approx 3\). Варианты: 1) \(a - 1 > c - 1\) 2) \(-a < -c\) 3) \(\frac{a}{6} < \frac{c}{6}\) 4) \(a + 3 > c + 1\) Решение: По изображению видно, что \(c < 0\) и \(a > 0\). Также \(a > |c|\). Например, пусть \(c = -2\) и \(a = 3\). Проверим каждое неравенство: 1) \(a - 1 > c - 1\) Если \(a > c\), то при вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенство сохраняется. Поскольку \(a\) находится правее \(c\) на координатной прямой, \(a > c\). Значит, \(a - 1 > c - 1\) — это верное неравенство. Пример: \(3 - 1 > -2 - 1 \Rightarrow 2 > -3\) (верно). 2) \(-a < -c\) Если \(a > c\), то при умножении на \(-1\) знак неравенства меняется на противоположный. То есть, \(-a < -c\) должно быть \(-a < -c\). Пример: \(-3 < -(-2) \Rightarrow -3 < 2\) (верно). 3) \(\frac{a}{6} < \frac{c}{6}\) Если \(a > c\), то при делении на положительное число (6) знак неравенства сохраняется. То есть, \(\frac{a}{6} > \frac{c}{6}\). Данное неравенство \(\frac{a}{6} < \frac{c}{6}\) является неверным. Пример: \(\frac{3}{6} < \frac{-2}{6} \Rightarrow 0.5 < -0.33\) (неверно). 4) \(a + 3 > c + 1\) Если \(a > c\), то \(a + 3\) и \(c + 1\) можно сравнить. Перенесем числа: \(a - c > 1 - 3 \Rightarrow a - c > -2\). Поскольку \(a > c\), то \(a - c\) всегда положительное число. Положительное число всегда больше \(-2\). Значит, \(a + 3 > c + 1\) — это верное неравенство. Пример: \(3 + 3 > -2 + 1 \Rightarrow 6 > -1\) (верно). Неверным является неравенство под номером 3. Ответ: 3 8. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}\). Решение: Используем свойство корней: \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}\) и \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\). \[ \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21 \cdot 14}{6}} \] Разложим числа на множители: \(21 = 3 \cdot 7\) \(14 = 2 \cdot 7\) \(6 = 2 \cdot 3\) \[ \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7)}{2 \cdot 3}} \] Сократим общие множители в числителе и знаменателе: \[ \sqrt{\frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}}} = \sqrt{7 \cdot 7} = \sqrt{7^2} = 7 \] Ответ: 7 9. Решите уравнение \(x^2 + 7x - 18 = 0\). Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания. Решение: Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -18\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)\) \(D = 49 + 72\) \(D = 121\) Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9\) \(x_2 = \frac{-7 + \sqrt{