Решение системы уравнений с использованием правил Кирхгофа

Для решения задачи составим систему линейных уравнений, используя правила Кирхгофа. 1. Выберем направления токов: пусть \( I_1, I_2, I_3 \) направлены сверху вниз через соответствующие ветви, а общий ток \( I \) также направлен вниз через резистор \( R \). 2. По первому правилу Кирхгофа для узла: \[ I_1 + I_2 + I_3 - I = 0 \] 3. По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров (обходим по часовой стрелке): Для контура с \( \mathcal{E}_1 \) и \( \mathcal{E}_2 \): \[ I_1 R_1 - I_2 R_2 = \mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 \] Для контура с \( \mathcal{E}_2 \) и \( \mathcal{E}_3 \): \[ I_2 R_2 - I_3 R_3 = \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_3 \] Для контура с \( \mathcal{E}_3 \) и \( R \): \[ I_3 R_3 + I R = \mathcal{E}_3 \] Подставим числовые значения в систему: \[ \begin{cases} I_1 + I_2 + I_3 - I = 0 \\ 2I_1 - 1I_2 = -6 - 5 \\ 1I_2 - 1I_3 = 5 - 8 \\ 1I_3 + 1I = 8 \end{cases} \] Упростим систему: \[ \begin{cases} I_1 + I_2 + I_3 - I = 0 \quad (1) \\ 2I_1 - I_2 = -11 \quad (2) \\ I_2 - I_3 = -3 \quad (3) \\ I_3 + I = 8 \quad (4) \end{cases} \] Выразим все токи через \( I_2 \): Из (2): \( I_1 = \frac{I_2 - 11}{2} = 0,5I_2 - 5,5 \) Из (3): \( I_3 = I_2 + 3 \) Из (4): \( I = 8 - I_3 = 8 - (I_2 + 3) = 5 - I_2 \) Подставим эти выражения в уравнение (1): \[ (0,5I_2 - 5,5) + I_2 + (I_2 + 3) - (5 - I_2) = 0 \] \[ 0,5I_2 - 5,5 + I_2 + I_2 + 3 - 5 + I_2 = 0 \] \[ 3,5I_2 - 7,5 = 0 \] \[ 3,5I_2 = 7,5 \] \[ I_2 = \frac{7,5}{3,5} = \frac{15}{7} \approx 2,14 \, \text{А} \] Теперь найдем остальные токи: \[ I_1 = 0,5 \cdot \frac{15}{7} - 5,5 = \frac{7,5}{7} - \frac{38,5}{7} = -\frac{31}{7} \approx -4,43 \, \text{А} \] \[ I_3 = \frac{15}{7} + 3 = \frac{15 + 21}{7} = \frac{36}{7} \approx 5,14 \, \text{А} \] \[ I = 5 - \frac{15}{7} = \frac{35 - 15}{7} = \frac{20}{7} \approx 2,86 \, \text{А} \] Ответ: \( I_1 = -\frac{31}{7} \approx -4,43 \, \text{А} \) \( I_2 = \frac{15}{7} \approx 2,14 \, \text{А} \) \( I_3 = \frac{36}{7} \approx 5,14 \, \text{А} \) \( I = \frac{20}{7} \approx 2,86 \, \text{А} \)