Уравнение 1:
\(\log_4 (3x-2) = 3\)
По определению логарифма, если \(\log_a b = c\), то \(a^c = b\).
В нашем случае \(a=4\), \(b=3x-2\), \(c=3\).
Значит:
\(4^3 = 3x-2\)
\(64 = 3x-2\)
Перенесем -2 в левую часть:
\(64 + 2 = 3x\)
\(66 = 3x\)
Разделим обе части на 3:
\(x = \frac{66}{3}\)
\(x = 22\)
Проверим область допустимых значений (ОДЗ): \(3x-2 > 0\). Если \(x=22\), то \(3 \cdot 22 - 2 = 66 - 2 = 64 > 0\). Условие выполняется.
Ответ: \(x = 22\)
Уравнение 2:
\(\log_3 (4x+6) = \log_3 2 + 3\)
Сначала преобразуем правую часть. Число 3 можно представить как логарифм по основанию 3:
\(3 = \log_3 3^3 = \log_3 27\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\log_3 (4x+6) = \log_3 2 + \log_3 27\)
Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
\(\log_3 (4x+6) = \log_3 (2 \cdot 27)\)
\(\log_3 (4x+6) = \log_3 54\)
Если логарифмы по одному основанию равны, то их аргументы тоже равны:
\(4x+6 = 54\)
Перенесем 6 в правую часть:
\(4x = 54 - 6\)
\(4x = 48\)
Разделим обе части на 4:
\(x = \frac{48}{4}\)
\(x = 12\)
Проверим ОДЗ: \(4x+6 > 0\). Если \(x=12\), то \(4 \cdot 12 + 6 = 48 + 6 = 54 > 0\). Условие выполняется.
Ответ: \(x = 12\)
Уравнение 3:
\(\log_2 (x-3) + \log_2 x = 2\)
Сначала определим ОДЗ: \(x-3 > 0\) и \(x > 0\). Это означает, что \(x > 3\).
Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
\(\log_2 ((x-3) \cdot x) = 2\)
\(\log_2 (x^2 - 3x) = 2\)
По определению логарифма:
\(2^2 = x^2 - 3x\)
\(4 = x^2 - 3x\)
Перенесем 4 в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 - 3x - 4 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\(a=1\), \(b=-3\), \(c=-4\)
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\)
\(D = 9 + 16\)
\(D = 25\)
Найдем корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
Проверим корни на соответствие ОДЗ \(x > 3\):
\(x_1 = 4\) удовлетворяет условию \(4 > 3\).
\(x_2 = -1\) не удовлетворяет условию \(-1 > 3\), поэтому этот корень отбрасываем.
Ответ: \(x = 4\)
Уравнение 4:
\(\log_5 (3x+6) = \log_5 3 + 1\)
Сначала определим ОДЗ: \(3x+6 > 0\). Это означает \(3x > -6\), или \(x > -2\).
Преобразуем правую часть. Число 1 можно представить как логарифм по основанию 5:
\(1 = \log_5 5^1 = \log_5 5\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\log_5 (3x+6) = \log_5 3 + \log_5 5\)
Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
\(\log_5 (3x+6) = \log_5 (3 \cdot 5)\)
\(\log_5 (3x+6) = \log_5 15\)
Если логарифмы по одному основанию равны, то их аргументы тоже равны:
\(3x+6 = 15\)
Перенесем 6 в правую часть:
\(3x = 15 - 6\)
\(3x = 9\)
Разделим обе части на 3:
\(x = \frac{9}{3}\)
\(x = 3\)
Проверим корень на соответствие ОДЗ \(x > -2\):
\(x = 3\) удовлетворяет условию \(3 > -2\).
Ответ: \(x = 3\)
Уравнение 5:
\(\log_2 (x-2) + \log_2 (x-3) = 1\)
Сначала определим ОДЗ: \(x-2 > 0\) и \(x-3 > 0\). Это означает, что \(x > 2\) и \(x > 3\). В итоге, \(x > 3\).
Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)
\(\log_2 ((x-2) \cdot (x-3)) = 1\)
\(\log_2 (x^2 - 3x - 2x + 6) = 1\)
\(\log_2 (x^2 - 5x + 6) = 1\)
По определению логарифма:
\(2^1 = x^2 - 5x + 6\)
\(2 = x^2 - 5x + 6\)
Перенесем 2 в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
\(x^2 - 5x + 6 - 2 = 0\)
\(x^2 - 5x + 4 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\(a=1\), \(b=-5\), \(c=4\)
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\)
\(D = 25 - 16\)
\(D = 9\)
Найдем корни: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Проверим корни на соответствие ОДЗ \(x > 3\):
\(x_1 = 4\) удовлетворяет условию \(4 > 3\).
\(x_2 = 1\) не удовлетворяет условию \(1 > 3\), поэтому этот корень отбрасываем.
Ответ: \(x = 4\)