Решение уравнения: (3x² - 2) / (2 - 8x) = 21

Давайте решим это уравнение по шагам. Сначала запишем уравнение в математическом виде: \[ \frac{3x^2 - 2}{2 - 8x} = 21 \] Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель \( (2 - 8x) \). Важно помнить, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( 2 - 8x \neq 0 \), что означает \( 8x \neq 2 \), или \( x \neq \frac{2}{8} \), то есть \( x \neq \frac{1}{4} \). Итак, умножаем: \[ (2 - 8x) \cdot \frac{3x^2 - 2}{2 - 8x} = 21 \cdot (2 - 8x) \] \[ 3x^2 - 2 = 21 \cdot (2 - 8x) \] Теперь раскроем скобки в правой части уравнения: \[ 3x^2 - 2 = 21 \cdot 2 - 21 \cdot 8x \] \[ 3x^2 - 2 = 42 - 168x \] Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ 3x^2 + 168x - 2 - 42 = 0 \] \[ 3x^2 + 168x - 44 = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта. Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] А корни уравнения \( x_{1,2} \) вычисляются по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] В нашем уравнении \( 3x^2 + 168x - 44 = 0 \): \( a = 3 \) \( b = 168 \) \( c = -44 \) Вычислим дискриминант: \[ D = (168)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) \] \[ D = 28224 - 12 \cdot (-44) \] \[ D = 28224 + 528 \] \[ D = 28752 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-168 \pm \sqrt{28752}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{-168 \pm \sqrt{28752}}{6} \] Давайте попробуем упростить \( \sqrt{28752} \). Разложим 28752 на множители: \( 28752 = 4 \cdot 7188 \) \( 7188 = 4 \cdot 1797 \) \( 1797 = 3 \cdot 599 \) 599 - это простое число. Значит, \( 28752 = 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 599 = 16 \cdot 3 \cdot 599 = 16 \cdot 1797 \) Тогда \( \sqrt{28752} = \sqrt{16 \cdot 1797} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{1797} = 4\sqrt{1797} \) Подставим это обратно в формулу для корней: \[ x_{1,2} = \frac{-168 \pm 4\sqrt{1797}}{6} \] Разделим числитель и знаменатель на 2: \[ x_{1,2} = \frac{-84 \pm 2\sqrt{1797}}{3} \] Теперь запишем два корня: \[ x_1 = \frac{-84 + 2\sqrt{1797}}{3} \] \[ x_2 = \frac{-84 - 2\sqrt{1797}}{3} \] Проверим условие \( x \neq \frac{1}{4} \). Оба полученных корня являются иррациональными числами, поэтому они точно не равны \( \frac{1}{4} \). Ответ: Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-84 + 2\sqrt{1797}}{3} \] \[ x_2 = \frac{-84 - 2\sqrt{1797}}{3} \]