Решение уравнения 2^(√2x-3) = 4^(x^2-3x-1)

Решим уравнение: Уравнение, которое нужно решить: \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = 4^{x^2-3x-1} \] Шаг 1: Приведем обе части уравнения к одному основанию. Мы знаем, что \( 4 = 2^2 \). Подставим это в правую часть уравнения: \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = (2^2)^{x^2-3x-1} \] Шаг 2: Используем свойство степеней \( (a^b)^c = a^{bc} \). \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = 2^{2(x^2-3x-1)} \] \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = 2^{2x^2-6x-2} \] Шаг 3: Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны. \[ \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \] Шаг 4: Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \( x \). Для того чтобы квадратный корень был определен, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ 2x-3 \ge 0 \] \[ 2x \ge 3 \] \[ x \ge \frac{3}{2} \] \[ x \ge 1.5 \] Также, правая часть уравнения \( 2x^2-6x-2 \) должна быть неотрицательной, так как она равна значению квадратного корня, которое всегда неотрицательно. \[ 2x^2-6x-2 \ge 0 \] Разделим на 2: \[ x^2-3x-1 \ge 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( x^2-3x-1 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] Здесь \( a=1, b=-3, c=-1 \). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13 \] \[ x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \] \[ x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \] Приблизительные значения: \( \sqrt{13} \approx 3.6 \) \[ x_1 \approx \frac{3 - 3.6}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3 \] \[ x_2 \approx \frac{3 + 3.6}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3 \] Так как парабола \( y = x^2-3x-1 \) направлена ветвями вверх, то \( x^2-3x-1 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Учитывая ОДЗ \( x \ge 1.5 \), мы должны иметь \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Так как \( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \), то ОДЗ для \( x \) будет \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Шаг 5: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. \[ (\sqrt{2x-3})^2 = (2x^2-6x-2)^2 \] \[ 2x-3 = (2x^2-6x-2)^2 \] Это уравнение четвертой степени, которое может быть сложно решить напрямую. Попробуем найти целые корни, если они есть. Давайте вернемся к уравнению \( \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \). Заметим, что \( 2x^2-6x-2 = 2(x^2-3x-1) \). Пусть \( y = \sqrt{2x-3} \). Тогда \( y^2 = 2x-3 \). Уравнение принимает вид \( y = 2(x^2-3x-1) \). Попробуем подобрать корни. Если \( x=2 \): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 2 - 3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 \). Правая часть: \( 2 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 2 = 2 \cdot 4 - 12 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \). \( 1 \ne -6 \), значит \( x=2 \) не является корнем. Если \( x=3 \): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 3 - 3} = \sqrt{6-3} = \sqrt{3} \). Правая часть: \( 2 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 - 2 = 2 \cdot 9 - 18 - 2 = 18 - 18 - 2 = -2 \). \( \sqrt{3} \ne -2 \), значит \( x=3 \) не является корнем. Если \( x=4 \): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 4 - 3} = \sqrt{8-3} = \sqrt{5} \). Правая часть: \( 2 \cdot 4^2 - 6 \cdot 4 - 2 = 2 \cdot 16 - 24 - 2 = 32 - 24 - 2 = 8 - 2 = 6 \). \( \sqrt{5} \ne 6 \), значит \( x=4 \) не является корнем. Давайте еще раз внимательно посмотрим на ОДЗ: \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \). Это означает, что \( x \) должен быть больше или равен примерно 3.3. Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt{2x-3} \) и \( g(x) = 2x^2-6x-2 \). Нам нужно найти точки пересечения этих функций. Возведем обе части уравнения \( \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \) в квадрат: \[ 2x-3 = (2x^2-6x-2)^2 \] \[ 2x-3 = 4(x^2-3x-1)^2 \] Пусть \( t = x^2-3x-1 \). Тогда \( 2x-3 = 4t^2 \). Из \( t = x^2-3x-1 \) следует \( x^2-3x = t+1 \). Умножим на 2: \( 2x^2-6x = 2t+2 \). Мы также знаем, что \( 2x-3 = 4t^2 \). Это не сильно упрощает задачу. Давайте попробуем другой подход. Рассмотрим уравнение \( \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \). Если мы найдем корень, который удовлетворяет ОДЗ, то он будет решением. Предположим, что \( 2x^2-6x-2 = 1 \). Тогда \( 2x^2-6x-3 = 0 \). \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60 \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2} \] Проверим эти корни. Если \( x = \frac{3 + \sqrt{15}}{2} \): \( \sqrt{15} \approx 3.87 \). \( x \approx \frac{3 + 3.87}{2} = \frac{6.87}{2} = 3.435 \). Этот корень удовлетворяет ОДЗ \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \). Подставим \( x = \frac{3 + \sqrt{15}}{2} \) в левую часть уравнения \( \sqrt{2x-3} \): \[ \sqrt{2 \left( \frac{3 + \sqrt{15}}{2} \right) - 3} = \sqrt{3 + \sqrt{15} - 3} = \sqrt{\sqrt{15}} = \sqrt[4]{15} \] Мы предположили, что правая часть равна 1. \( \sqrt[4]{15} \ne 1 \). Значит, это не решение. Предположим, что \( 2x^2-6x-2 = 2 \). Тогда \( 2x^2-6x-4 = 0 \). Разделим на 2: \( x^2-3x-2 = 0 \). \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \] Проверим эти корни. Если \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \): \( \sqrt{17} \approx 4.12 \). \( x \approx \frac{3 + 4.12}{2} = \frac{7.12}{2} = 3.56 \). Этот корень удовлетворяет ОДЗ \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \). Подставим \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \) в левую часть уравнения \( \sqrt{2x-3} \): \[ \sqrt{2 \left( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right) - 3} = \sqrt{3 + \sqrt{17} - 3} = \sqrt{\sqrt{17}} = \sqrt[4]{17} \] Мы предположили, что правая часть равна 2. \( \sqrt[4]{17} \ne 2 \). Значит, это не решение. Давайте попробуем найти такой \( x \), при котором \( 2x-3 \) является полным квадратом. Например, если \( 2x-3 = 1 \), то \( x=2 \). Мы уже проверили, что \( x=2 \) не является решением. Если \( 2x-3 = 4 \), то \( 2x=7 \), \( x=3.5 \). Проверим \( x=3.5 \): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 3.5 - 3} = \sqrt{7-3} = \sqrt{4} = 2 \). Правая часть: \( 2 \cdot (3.5)^2 - 6 \cdot 3.5 - 2 = 2 \cdot 12.25 - 21 - 2 = 24.5 - 21 - 2 = 3.5 - 2 = 1.5 \). \( 2 \ne 1.5 \), значит \( x=3.5 \) не является корнем. Если \( 2x-3 = 9 \), то \( 2x=12 \), \( x=6 \). Проверим \( x=6 \): Левая часть: \( \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = \sqrt{12-3} = \sqrt{9} = 3 \). Правая часть: \( 2 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 - 2 = 2 \cdot 36 - 36 - 2 = 72 - 36 - 2 = 36 - 2 = 34 \). \( 3 \ne 34 \), значит \( x=6 \) не является корнем. Давайте еще раз проверим ОДЗ. \( x \ge 1.5 \) и \( 2x^2-6x-2 \ge 0 \). Корни \( x^2-3x-1=0 \) это \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \approx -0.3 \) и \( x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \). Значит, \( 2x^2-6x-2 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Совмещая с \( x \ge 1.5 \), получаем ОДЗ: \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Рассмотрим уравнение \( \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \). Пусть \( f(x) = \sqrt{2x-3} \) и \( g(x) = 2x^2-6x-2 \). Найдем производные: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x-3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-3}} \) \( g'(x) = 4x-6 \) При \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \): \( f'(x) \) убывает. \( g'(x) \) возрастает. Попробуем найти точку, где \( f(x) = g(x) \). Если \( x=2 \), то \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2(4)-6(2)-2 = 8-12-2 = -6 \). \( 1 \ne -6 \). Если \( x=3 \), то \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) и \( 2(9)-6(3)-2 = 18-18-2 = -2 \). \( \sqrt{3} \ne -2 \). Если \( x=4 \), то \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) и \( 2(16)-6(4)-2 = 32-24-2 = 6 \). \( \sqrt{5} \ne 6 \). Давайте еще раз проверим условие \( 2x^2-6x-2 \ge 0 \). При \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \), \( 2x^2-6x-2 = 0 \). Тогда \( \sqrt{2x-3} = 0 \). \( 2x-3 = 0 \). \( 2x = 3 \). \( x = 1.5 \). Но \( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3 \). Значит, \( x=1.5 \) не является корнем, так как \( 1.5 \ne 3.3 \). Возможно, есть ошибка в переписывании уравнения или оно имеет нецелые корни. Давайте еще раз проверим все шаги. \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = 4^{x^2-3x-1} \] \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = (2^2)^{x^2-3x-1} \] \[ 2^{\sqrt{2x-3}} = 2^{2(x^2-3x-1)} \] \[ \sqrt{2x-3} = 2x^2-6x-2 \] ОДЗ: \( 2x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1.5 \). И \( 2x^2-6x-2 \ge 0 \). Корни \( 2x^2-6x-2 = 0 \) это \( x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(2)(-2)}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{36+16}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2} \). Так как парабола \( 2x^2-6x-2 \) направлена ветвями вверх, то \( 2x^2-6x-2 \ge 0 \) при \( x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \) или \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Совмещая с \( x \ge 1.5 \), получаем ОДЗ: \( x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \). Приблизительно \( \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{3 + 3.605}{2} = \frac{6.605}{2} \approx 3.3025 \). Рассмотрим функцию \( h(x) = 2x^2-6x-2 - \sqrt{2x-3} \). Нам нужно найти корни \( h(x)=0 \). При \( x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3.3025 \): \( 2x^2-6x-2 =