Решение уравнения tg(πx/4) = -1

Вот решение уравнения \( \text{tg}(\frac{\pi x}{4}) = -1 \), оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь: Решение уравнения: Дано уравнение: \[ \text{tg}\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -1 \] Шаг 1: Вспомним, при каких значениях аргумента тангенс равен \(-1\). Мы знаем, что \(\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\). Также, тангенс имеет период \(\pi\). Это означает, что \(\text{tg}(y) = \text{tg}(y + \pi k)\), где \(k\) - любое целое число. Шаг 2: Запишем общее решение для аргумента тангенса. Если \(\text{tg}(A) = -1\), то \(A = -\frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\) (читается как "k принадлежит множеству целых чисел"). В нашем случае, аргумент тангенса равен \(\frac{\pi x}{4}\). Значит, мы можем записать: \[ \frac{\pi x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k \] где \(k \in \mathbb{Z}\). Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \(x\). Для этого разделим обе части уравнения на \(\pi\). \[ \frac{\pi x}{4 \pi} = -\frac{\pi}{4 \pi} + \frac{\pi k}{\pi} \] Сокращаем \(\pi\) в каждом члене: \[ \frac{x}{4} = -\frac{1}{4} + k \] Шаг 4: Умножим обе части уравнения на \(4\), чтобы найти \(x\). \[ 4 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4} + k\right) \] \[ x = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 4 \cdot k \] \[ x = -1 + 4k \] Шаг 5: Запишем окончательный ответ. \[ x = -1 + 4k \] где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \[ x = -1 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z} \]