Решение иррациональных уравнений разными методами

Для решения данных иррациональных уравнений распределим их по методам решения и приведем краткое оформление для тетради. 1. По определению арифметического корня Уравнение: \(\sqrt{x^2 - 5} = 2\) Решение: По определению корня, если \(\sqrt{a} = b\), то \(a = b^2\) при \(b \ge 0\). \[x^2 - 5 = 2^2\] \[x^2 - 5 = 4\] \[x^2 = 9\] \[x_1 = 3, x_2 = -3\] Проверка: При \(x = 3\): \(\sqrt{3^2 - 5} = \sqrt{4} = 2\) (верно). При \(x = -3\): \(\sqrt{(-3)^2 - 5} = \sqrt{4} = 2\) (верно). Ответ: \(-3; 3\). 2. Возведение обеих частей уравнения в степень с последующей проверкой Уравнение: \(\sqrt{x - 2} = x - 8\) Решение: Возведем обе части в квадрат: \[x - 2 = (x - 8)^2\] \[x - 2 = x^2 - 16x + 64\] \[x^2 - 17x + 66 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 6, x_2 = 11\] Проверка: При \(x = 6\): \(\sqrt{6 - 2} = 6 - 8 \Rightarrow 2 = -2\) (ложно). При \(x = 11\): \(\sqrt{11 - 2} = 11 - 8 \Rightarrow 3 = 3\) (верно). Ответ: \(11\). 3. Метод равносильных переходов Уравнение: \(\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1\) Решение: Уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 8 = (2x + 1)^2 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \ge -0,5 \\ x^2 + 8 = 4x^2 + 4x + 1 \end{cases}\] \[3x^2 + 4x - 7 = 0\] Находим корни через дискриминант: \(D = 16 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 100\). \[x_1 = \frac{-4 + 10}{6} = 1; x_2 = \frac{-4 - 10}{6} = -\frac{7}{3}\] Условию \(x \ge -0,5\) удовлетворяет только \(x = 1\). Ответ: \(1\). Уравнение: \(2\sqrt{x + 5} = x + 2\) Решение: \[\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 4(x + 5) = (x + 2)^2 \end{cases}\] \[\begin{cases} x \ge -2 \\ 4x + 20 = x^2 + 4x + 4 \end{cases}\] \[x^2 = 16 \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -4\] Условию \(x \ge -2\) удовлетворяет только \(x = 4\). Ответ: \(4\). 4. Графический метод (с проверкой) Уравнение: \(\sqrt[3]{x} = x - 6\) Решение: Построим графики функций \(y = \sqrt[3]{x}\) и \(y = x - 6\). Графики пересекаются в точке с абсциссой \(x = 8\). Проверка: \(\sqrt[3]{8} = 8 - 6 \Rightarrow 2 = 2\) (верно). Ответ: \(8\). 5. По свойству монотонности функций Уравнение: \(\sqrt{2x - 3} = 7 - x\) Решение: Функция \(f(x) = \sqrt{2x - 3}\) является возрастающей на своей области определения. Функция \(g(x) = 7 - x\) является убывающей. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим \(x = 6\). Проверка: \(\sqrt{2 \cdot 6 - 3} = 7 - 6 \Rightarrow \sqrt{9} = 1 \Rightarrow 3 = 1\) (не подходит). Попробуем \(x = 4\): \(\sqrt{2 \cdot 4 - 3} = 7 - 4 \Rightarrow \sqrt{5} \ne 3\). Решим через возведение в квадрат: \(2x - 3 = 49 - 14x + x^2 \Rightarrow x^2 - 16x + 52 = 0\). Корни: \(x = 8 \pm 2\sqrt{3}\). С учетом монотонности и ОДЗ подходит один корень. Ответ: \(8 - 2\sqrt{3}\). Уравнение: \(\sqrt[4]{5x + 1} = 6 - x\) Решение: Левая часть — возрастающая функция, правая — убывающая. Методом подбора находим корень \(x = 3\). Проверка: \(\sqrt[4]{5 \cdot 3 + 1} = 6 - 3 \Rightarrow \sqrt[4]{16} = 3 \Rightarrow 2 = 3\) (ложно). При \(x = 5\): \(\sqrt[4]{26} \ne 1\). Точный корень подбором среди целых чисел не находится, но принцип монотонности гарантирует единственность решения на промежутке \([ -0,2; 6 ]\). Таблица распределения уравнений: Способ решения — Уравнение 1. По определению — \(\sqrt{x^2 - 5} = 2\) 2. Возведение в степень и проверка — \(\sqrt{x - 2} = x - 8\) 3. Метод равносильных переходов — \(2\sqrt{x + 5} = x + 2\); \(\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1\) 4. Графический — \(\sqrt[3]{x} = x - 6\) 5. По свойству монотонности — \(\sqrt{2x - 3} = 7 - x\); \(\sqrt[4]{5x + 1} = 6 - x\)