2. Решите неравенства:
1) \[ \frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < \frac{4x}{5} + 3 \]
Для начала приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 5 будет 10.
Умножим обе части неравенства на 10: \[ 10 \cdot \left( \frac{3x}{2} - \frac{3}{5} \right) < 10 \cdot \left( \frac{4x}{5} + 3 \right) \] \[ \frac{30x}{2} - \frac{30}{5} < \frac{40x}{5} + 30 \] \[ 15x - 6 < 8x + 30 \]
Теперь перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 15x - 8x < 30 + 6 \] \[ 7x < 36 \]
Разделим обе части на 7: \[ x < \frac{36}{7} \]
Можно также записать в виде смешанной дроби: \[ x < 5\frac{1}{7} \]
Ответ: \( x \in \left( -\infty; 5\frac{1}{7} \right) \)
2) \[ 5(x+2) - x > 3(x-1) + x \]
Сначала раскроем скобки: \[ 5x + 10 - x > 3x - 3 + x \]
Приведем подобные члены в каждой части неравенства: \[ (5x - x) + 10 > (3x + x) - 3 \] \[ 4x + 10 > 4x - 3 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 4x - 4x > -3 - 10 \] \[ 0 > -13 \]
Получили верное числовое неравенство, которое не зависит от \(x\). Это означает, что неравенство верно для любого значения \(x\).
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \)
3) \[ \frac{4-3y}{2} - \frac{8y+1}{6} < 15y - 6 \]
Общий знаменатель для 2 и 6 будет 6.
Умножим обе части неравенства на 6: \[ 6 \cdot \left( \frac{4-3y}{2} - \frac{8y+1}{6} \right) < 6 \cdot (15y - 6) \] \[ \frac{6(4-3y)}{2} - \frac{6(8y+1)}{6} < 90y - 36 \] \[ 3(4-3y) - (8y+1) < 90y - 36 \]
Раскроем скобки: \[ 12 - 9y - 8y - 1 < 90y - 36 \]
Приведем подобные члены в левой части: \[ (12 - 1) + (-9y - 8y) < 90y - 36 \] \[ 11 - 17y < 90y - 36 \]
Перенесем все члены с \(y\) в левую часть, а числа – в правую: \[ -17y - 90y < -36 - 11 \] \[ -107y < -47 \]
Разделим обе части на -107. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ y > \frac{-47}{-107} \] \[ y > \frac{47}{107} \]
Ответ: \( y \in \left( \frac{47}{107}; +\infty \right) \)
4) \[ 8 + \frac{3y-2}{4} > \frac{y-1}{6} + \frac{5y+4}{3} \]
Общий знаменатель для 4, 6 и 3 будет 12.
Умножим обе части неравенства на 12: \[ 12 \cdot \left( 8 + \frac{3y-2}{4} \right) > 12 \cdot \left( \frac{y-1}{6} + \frac{5y+4}{3} \right) \] \[ 12 \cdot 8 + \frac{12(3y-2)}{4} > \frac{12(y-1)}{6} + \frac{12(5y+4)}{3} \] \[ 96 + 3(3y-2) > 2(y-1) + 4(5y+4) \]
Раскроем скобки: \[ 96 + 9y - 6 > 2y - 2 + 20y + 16 \]
Приведем подобные члены в каждой части: \[ (96 - 6) + 9y > (2y + 20y) + (-2 + 16) \] \[ 90 + 9y > 22y + 14 \]
Перенесем все члены с \(y\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 9y - 22y > 14 - 90 \] \[ -13y > -76 \]
Разделим обе части на -13. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ y < \frac{-76}{-13} \] \[ y < \frac{76}{13} \]
Можно также записать в виде смешанной дроби: \[ y < 5\frac{11}{13} \]
Ответ: \( y \in \left( -\infty; 5\frac{11}{13} \right) \)
5) \[ \frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2} \]
Общий знаменатель для 2 и 3 будет 6.
Умножим обе части неравенства на 6: \[ 6 \cdot \left( \frac{x+1}{2} - 2x \right) \le 6 \cdot \left( \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2} \right) \] \[ \frac{6(x+1)}{2} - 6 \cdot 2x \le \frac{6(x-2)}{3} + \frac{6x}{2} \] \[ 3(x+1) - 12x \le 2(x-2) + 3x \]
Раскроем скобки: \[ 3x + 3 - 12x \le 2x - 4 + 3x \]
Приведем подобные члены в каждой части: \[ (3x - 12x) + 3 \le (2x + 3x) - 4 \] \[ -9x + 3 \le 5x - 4 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ -9x - 5x \le -4 - 3 \] \[ -14x \le -7 \]
Разделим обе части на -14. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \ge \frac{-7}{-14} \] \[ x \ge \frac{1}{2} \]
Ответ: \( x \in \left[ \frac{1}{2}; +\infty \right) \)
6) \[ \frac{x+4}{4} - x \le 2 - \frac{x}{2} \]
Общий знаменатель для 4 и 2 будет 4.
Умножим обе части неравенства на 4: \[ 4 \cdot \left( \frac{x+4}{4} - x \right) \le 4 \cdot \left( 2 - \frac{x}{2} \right) \] \[ \frac{4(x+4)}{4} - 4x \le 4 \cdot 2 - \frac{4x}{2} \] \[ x + 4 - 4x \le 8 - 2x \]
Приведем подобные члены в левой части: \[ (x - 4x) + 4 \le 8 - 2x \] \[ -3x + 4 \le 8 - 2x \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ -3x + 2x \le 8 - 4 \] \[ -x \le 4 \]
Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \ge -4 \]
Ответ: \( x \in [-4; +\infty) \)
7) \[ \frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4} \]
Общий знаменатель для 2, 5 и 4 будет 20.
Умножим обе части неравенства на 20: \[ 20 \cdot \left( \frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} \right) > 20 \cdot \left( \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4} \right) \] \[ \frac{20(2x-1)}{2} - \frac{20(2x)}{5} > \frac{20(3x-2)}{5} - \frac{20x}{4} \] \[ 10(2x-1) - 4(2x) > 4(3x-2) - 5x \]
Раскроем скобки: \[ 20x - 10 - 8x > 12x - 8 - 5x \]
Приведем подобные члены в каждой части: \[ (20x - 8x) - 10 > (12x - 5x) - 8 \] \[ 12x - 10 > 7x - 8 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 12x - 7x > -8 + 10 \] \[ 5x > 2 \]
Разделим обе части на 5: \[ x > \frac{2}{5} \]
Ответ: \( x \in \left( \frac{2}{5}; +\infty \right) \)
8) \[ \frac{3x+1}{4} - x < \frac{5x-2}{2} + \frac{3x}{3} \]
Заметим, что \(\frac{3x}{3} = x\). Перепишем неравенство: \[ \frac{3x+1}{4} - x < \frac{5x-2}{2} + x \]
Общий знаменатель для 4 и 2 будет 4.
Умножим обе части неравенства на 4: \[ 4 \cdot \left( \frac{3x+1}{4} - x \right) < 4 \cdot \left( \frac{5x-2}{2} + x \right) \] \[ \frac{4(3x+1)}{4} - 4x < \frac{4(5x-2)}{2} + 4x \] \[ 3x + 1 - 4x < 2(5x-2) + 4x \]
Раскроем скобки: \[ 3x + 1 - 4x < 10x - 4 + 4x \]
Приведем подобные члены в каждой части: \[ (3x - 4x) + 1 < (10x + 4x) - 4 \] \[ -x + 1 < 14x - 4 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ -x - 14x < -4 - 1 \] \[ -15x < -5 \]
Разделим обе части на -15. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: \[ x > \frac{-5}{-15} \] \[ x > \frac{1}{3} \]
Ответ: \( x \in \left( \frac{1}{3}; +\infty \right) \)
9) \[ \frac{3x+6}{4} - \frac{x}{4} > \frac{x+2}{2} \]
Заметим, что в левой части дроби имеют одинаковый знаменатель. Объединим их: \[ \frac{3x+6-x}{4} > \frac{x+2}{2} \] \[ \frac{2x+6}{4} > \frac{x+2}{2} \]
Можно сократить дробь в левой части на 2: \[ \frac{2(x+3)}{4} > \frac{x+2}{2} \] \[ \frac{x+3}{2} > \frac{x+2}{2} \]
Умножим обе части неравенства на 2: \[ 2 \cdot \frac{x+3}{2} > 2 \cdot \frac{x+2}{2} \] \[ x+3 > x+2 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ x - x > 2 - 3 \] \[ 0 > -1 \]
Получили верное числовое неравенство, которое не зависит от \(x\). Это означает, что неравенство верно для любого значения \(x\).
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \)
3. Решите неравенства:
1) \[ 3(x-2) + x < 4x+1 \]
Раскроем скобки: \[ 3x - 6 + x < 4x + 1 \]
Приведем подобные члены в левой части: \[ (3x + x) - 6 < 4x + 1 \] \[ 4x - 6 < 4x + 1 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 4x - 4x < 1 + 6 \] \[ 0 < 7 \]
Получили верное числовое неравенство, которое не зависит от \(x\). Это означает, что неравенство верно для любого значения \(x\).
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \)
2) \[ 5(x+2) - x > 3(x-1) + x \]
Это неравенство уже было решено под номером 2) в разделе 2.
Раскроем скобки: \[ 5x + 10 - x > 3x - 3 + x \]
Приведем подобные члены: \[ 4x + 10 > 4x - 3 \]
Перенесем \(4x\) в левую часть, а 10 в правую: \[ 4x - 4x > -3 - 10 \] \[ 0 > -13 \]
Это верное неравенство, поэтому решение:
Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \)
3) \[ 5x+1 \ge 2(x-1) + 3x+3 \]
Раскроем скобки: \[ 5x+1 \ge 2x - 2 + 3x + 3 \]
Приведем подобные члены в правой части: \[ 5x+1 \ge (2x + 3x) + (-2 + 3) \] \[ 5x+1 \ge 5x + 1 \]
Перенесем все члены с \(x\) в левую часть, а числа – в правую: \[ 5x - 5x \ge 1 - 1 \] \[ 0 \ge 0 \]
Получили верное числовое неравенство. Это означает, что неравенство верно для любого значения \(