2. Решите неравенства.
1) \[ \frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < 4x + 3 \]
Для начала, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 5 будет 10.
\[ \frac{3x \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} < \frac{4x \cdot 10}{10} + \frac{3 \cdot 10}{10} \] \[ \frac{15x}{10} - \frac{6}{10} < \frac{40x}{10} + \frac{30}{10} \]Теперь, когда у всех членов одинаковый знаменатель, мы можем умножить обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от дробей. Так как 10 - положительное число, знак неравенства не изменится.
\[ 15x - 6 < 40x + 30 \]Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа - в другую. Пусть \(x\) будет слева, а числа справа.
\[ 15x - 40x < 30 + 6 \] \[ -25x < 36 \]Теперь разделим обе части неравенства на -25. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
\[ x > \frac{36}{-25} \] \[ x > -\frac{36}{25} \]Можно также записать в виде десятичной дроби:
\[ x > -1.44 \]Ответ: \( x > -\frac{36}{25} \) или \( x > -1.44 \)
2) \[ \frac{x}{5} - 5 > 1 - \frac{3}{4} - \frac{5x}{2} \]
Найдем общий знаменатель для всех дробей (5, 4, 2). Общий знаменатель будет 20.
\[ \frac{x \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 20}{20} > \frac{1 \cdot 20}{20} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{5x \cdot 10}{2 \cdot 10} \] \[ \frac{4x}{20} - \frac{100}{20} > \frac{20}{20} - \frac{15}{20} - \frac{50x}{20} \]Умножим обе части неравенства на 20, чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства не изменится.
\[ 4x - 100 > 20 - 15 - 50x \] \[ 4x - 100 > 5 - 50x \]Перенесем члены с \(x\) влево, а числа вправо.
\[ 4x + 50x > 5 + 100 \] \[ 54x > 105 \]Разделим обе части на 54.
\[ x > \frac{105}{54} \]Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3.
\[ x > \frac{105 \div 3}{54 \div 3} \] \[ x > \frac{35}{18} \]Ответ: \( x > \frac{35}{18} \)
3) \[ \frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6} < 15y - 6 \]
Найдем общий знаменатель для дробей (2, 6). Общий знаменатель будет 6.
\[ \frac{(4 - 3y) \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8y + 1}{6} < \frac{15y \cdot 6}{6} - \frac{6 \cdot 6}{6} \] \[ \frac{12 - 9y}{6} - \frac{8y + 1}{6} < \frac{90y}{6} - \frac{36}{6} \]Умножим обе части неравенства на 6. Знак неравенства не изменится.
\[ (12 - 9y) - (8y + 1) < 90y - 36 \]Раскроем скобки. Будьте внимательны со знаком минус перед второй скобкой.
\[ 12 - 9y - 8y - 1 < 90y - 36 \]Приведем подобные члены.
\[ 11 - 17y < 90y - 36 \]Перенесем члены с \(y\) влево, а числа вправо.
\[ -17y - 90y < -36 - 11 \] \[ -107y < -47 \]Разделим обе части на -107. Знак неравенства изменится на противоположный.
\[ y > \frac{-47}{-107} \] \[ y > \frac{47}{107} \]Ответ: \( y > \frac{47}{107} \)
4) \[ 8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{5} + \frac{y + 4}{3} \]
Найдем общий знаменатель для дробей (4, 5, 3). Общий знаменатель будет 60.
\[ \frac{8 \cdot 60}{60} + \frac{(3y - 2) \cdot 15}{4 \cdot 15} > \frac{(y - 1) \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{(y + 4) \cdot 20}{3 \cdot 20} \] \[ \frac{480}{60} + \frac{45y - 30}{60} > \frac{12y - 12}{60} + \frac{20y + 80}{60} \]Умножим обе части неравенства на 60. Знак неравенства не изменится.
\[ 480 + 45y - 30 > 12y - 12 + 20y + 80 \]Приведем подобные члены с каждой стороны.
\[ 45y + 450 > 32y + 68 \]Перенесем члены с \(y\) влево, а числа вправо.
\[ 45y - 32y > 68 - 450 \] \[ 13y > -382 \]Разделим обе части на 13.
\[ y > -\frac{382}{13} \]Ответ: \( y > -\frac{382}{13} \)
5) \[ \frac{x + 1}{2} - 2x \le \frac{x - 2}{3} + \frac{x}{2} \]
Найдем общий знаменатель для дробей (2, 3). Общий знаменатель будет 6.
\[ \frac{(x + 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2x \cdot 6}{6} \le \frac{(x - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} \] \[ \frac{3x + 3}{6} - \frac{12x}{6} \le \frac{2x - 4}{6} + \frac{3x}{6} \]Умножим обе части неравенства на 6. Знак неравенства не изменится.
\[ 3x + 3 - 12x \le 2x - 4 + 3x \]Приведем подобные члены с каждой стороны.
\[ -9x + 3 \le 5x - 4 \]Перенесем члены с \(x\) влево, а числа вправо.
\[ -9x - 5x \le -4 - 3 \] \[ -14x \le -7 \]Разделим обе части на -14. Знак неравенства изменится на противоположный.
\[ x \ge \frac{-7}{-14} \] \[ x \ge \frac{1}{2} \]Ответ: \( x \ge \frac{1}{2} \)
6) \[ \frac{x - 4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x + 1}{4} \]
Найдем общий знаменатель для дробей (3, 4). Общий знаменатель будет 12.
\[ \frac{(x - 4) \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3x \cdot 12}{12} \ge \frac{x \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{(x + 1) \cdot 3}{4 \cdot 3} \] \[ \frac{4x - 16}{12} + \frac{36x}{12} \ge \frac{4x}{12} - \frac{3x + 3}{12} \]Умножим обе части неравенства на 12. Знак неравенства не изменится.
\[ 4x - 16 + 36x \ge 4x - (3x + 3) \]Раскроем скобки. Будьте внимательны со знаком минус перед скобкой.
\[ 4x - 16 + 36x \ge 4x - 3x - 3 \]Приведем подобные члены с каждой стороны.
\[ 40x - 16 \ge x - 3 \]Перенесем члены с \(x\) влево, а числа вправо.
\[ 40x - x \ge -3 + 16 \] \[ 39x \ge 13 \]Разделим обе части на 39.
\[ x \ge \frac{13}{39} \]Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 13.
\[ x \ge \frac{1}{3} \]Ответ: \( x \ge \frac{1}{3} \)
7) \[ \frac{2x - 1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x - 2}{5} - \frac{x}{4} \]
Найдем общий знаменатель для дробей (2, 5, 4). Общий знаменатель будет 20.
\[ \frac{(2x - 1) \cdot 10}{2 \cdot 10} - \frac{2x \cdot 4}{5 \cdot 4} > \frac{(3x - 2) \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{x \cdot 5}{4 \cdot 5} \] \[ \frac{20x - 10}{20} - \frac{8x}{20} > \frac{12x - 8}{20} - \frac{5x}{20} \]Умножим обе части неравенства на 20. Знак неравенства не изменится.
\[ 20x - 10 - 8x > 12x - 8 - 5x \]Приведем подобные члены с каждой стороны.
\[ 12x - 10 > 7x - 8 \]Перенесем члены с \(x\) влево, а числа вправо.
\[ 12x - 7x > -8 + 10 \] \[ 5x > 2 \]Разделим обе части на 5.
\[ x > \frac{2}{5} \]Ответ: \( x > \frac{2}{5} \)
8) \[ \frac{3x + 1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x - 2}{3} + \frac{3x}{5} \]
Найдем общий знаменатель для дробей (4, 2, 3, 5). Общий знаменатель будет 60.
\[ \frac{(3x + 1) \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{x \cdot 30}{2 \cdot 30} < \frac{(5x - 2) \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{3x \cdot 12}{5 \cdot 12} \] \[ \frac{45x + 15}{60} - \frac{30x}{60} < \frac{100x - 40}{60} + \frac{36x}{60} \]Умножим обе части неравенства на 60. Знак неравенства не изменится.
\[ 45x + 15 - 30x < 100x - 40 + 36x \]Приведем подобные члены с каждой стороны.
\[ 15x + 15 < 136x - 40 \]Перенесем члены с \(x\) влево, а числа вправо.
\[ 15x - 136x < -40 - 15 \] \[ -121x < -55 \]Разделим обе части на -121. Знак неравенства изменится на противоположный.
\[ x > \frac{-55}{-121} \] \[ x > \frac{55}{121} \]Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 11.
\[ x > \frac{5}{11} \]Ответ: \( x > \frac{5}{11} \)