Решение задачи Коши операционным методом

Для решения задачи Коши операционным методом воспользуемся преобразованием Лапласа. Дано уравнение: \[ \ddot{x} + \frac{1}{4}x = 6 \cos \frac{t}{4} \] Начальные условия: \[ x(0) = 0, \quad \dot{x}(0) = -1 \] 1. Перейдем к изображениям. Пусть \( x(t) \risingdotseq X(p) \). Используя свойства преобразования Лапласа для производных: \[ \dot{x}(t) \risingdotseq pX(p) - x(0) = pX(p) \] \[ \ddot{x}(t) \risingdotseq p^2 X(p) - p \cdot x(0) - \dot{x}(0) = p^2 X(p) + 1 \] Изображение правой части: \[ 6 \cos \frac{t}{4} \risingdotseq 6 \cdot \frac{p}{p^2 + (1/4)^2} = \frac{6p}{p^2 + 1/16} \] 2. Составим операторное уравнение: \[ p^2 X(p) + 1 + \frac{1}{4} X(p) = \frac{6p}{p^2 + 1/16} \] \[ X(p) \left( p^2 + \frac{1}{4} \right) = \frac{6p}{p^2 + 1/16} - 1 \] \[ X(p) \frac{4p^2 + 1}{4} = \frac{6p}{ \frac{16p^2 + 1}{16} } - 1 \] \[ X(p) \frac{4p^2 + 1}{4} = \frac{96p}{16p^2 + 1} - 1 \] \[ X(p) = \frac{4}{4p^2 + 1} \left( \frac{96p}{16p^2 + 1} - 1 \right) = \frac{384p}{(4p^2 + 1)(16p^2 + 1)} - \frac{4}{4p^2 + 1} \] 3. Разложим первую дробь на элементарные слагаемые методом неопределенных коэффициентов: \[ \frac{384p}{(4p^2 + 1)(16p^2 + 1)} = \frac{Ap+B}{4p^2 + 1} + \frac{Cp+D}{16p^2 + 1} \] \[ 384p = (Ap+B)(16p^2 + 1) + (Cp+D)(4p^2 + 1) \] При \( p^2 \): \( 16B + 4D = 0 \Rightarrow D = -4B \). При константах: \( B + D = 0 \Rightarrow B - 4B = 0 \Rightarrow B = 0, D = 0 \). При \( p^3 \): \( 16A + 4C = 0 \Rightarrow C = -4A \). При \( p \): \( A + C = 384 \Rightarrow A - 4A = 384 \Rightarrow -3A = 384 \Rightarrow A = -128 \). Тогда \( C = -4 \cdot (-128) = 512 \). Получаем: \[ X(p) = \frac{-128p}{4p^2 + 1} + \frac{512p}{16p^2 + 1} - \frac{4}{4p^2 + 1} \] 4. Приведем слагаемые к табличному виду: \[ X(p) = -32 \frac{p}{p^2 + (1/2)^2} + 32 \frac{p}{p^2 + (1/4)^2} - 2 \frac{1/2}{p^2 + (1/2)^2} \] 5. Перейдем к оригиналам: \[ x(t) = -32 \cos \frac{t}{2} + 32 \cos \frac{t}{4} - 2 \sin \frac{t}{2} \] Ответ: \[ x(t) = 32 \left( \cos \frac{t}{4} - \cos \frac{t}{2} \right) - 2 \sin \frac{t}{2} \]