Решение: Решить в точности по пример Решить в точности

Для того чтобы решение выглядело в точности как в вашем примере, оформим его следующим образом: \( \ddot{x} + \frac{1}{4}x = 6 \cos \frac{t}{4}, \quad x(0)=0, \dot{x}(0)=-1 \) Если \( X(p) \) есть изображение искомого решения \( x(t) \), то изображение производных при данных начальных условиях и правой части уравнения: \( \dot{x}(t) \risingdotseq pX(p) - 0 = pX(p) \), \( \ddot{x}(t) \risingdotseq p^2 X(p) - p \cdot 0 - (-1) = p^2 X(p) + 1 \), \( f(t) = 6 \cos \frac{t}{4} \risingdotseq \frac{6p}{p^2 + 1/16} \). Изображение данного уравнения, т.е. операторное уравнение имеет вид: \( (p^2 + \frac{1}{4}) X(p) + 1 = \frac{6p}{p^2 + 1/16} \); \( \frac{4p^2 + 1}{4} X(p) = \frac{6p}{p^2 + 1/16} - 1 \); \( X(p) = \frac{24p}{(p^2 + 1/16)(4p^2 + 1)} - \frac{4}{4p^2 + 1} \); Разложим первую дробь на простейшие: \[ \frac{24p}{(p^2 + 1/16)(4p^2 + 1)} = \frac{Ap+B}{p^2 + 1/16} + \frac{Cp+D}{4p^2 + 1} \] \( 24p = (Ap+B)(4p^2 + 1) + (Cp+D)(p^2 + 1/16) \); \( p=0 : 0 = B + \frac{1}{16}D \); \( p^2 : 0 = 4B + D \Rightarrow D = -4B \Rightarrow B - \frac{4}{16}B = 0 \Rightarrow B=0, D=0 \); \( p^3 : 0 = 4A + C \Rightarrow C = -4A \); \( p : 24 = A + \frac{1}{16}C \Rightarrow 24 = A - \frac{4}{16}A \Rightarrow 24 = \frac{3}{4}A \Rightarrow A=32 \); \( C = -128 \); Таким образом, получили: \[ X(p) = \frac{32p}{p^2 + 1/16} - \frac{128p}{4p^2 + 1} - \frac{4}{4p^2 + 1} \] \[ X(p) = 32 \frac{p}{p^2 + (1/4)^2} - 32 \frac{p}{p^2 + (1/2)^2} - 2 \frac{1/2}{p^2 + (1/2)^2} \] По таблице находим оригиналы для каждого слагаемого и записываем решение уравнения. Ответ: \( x(t) = 32 \cos \frac{t}{4} - 32 \cos \frac{t}{2} - 2 \sin \frac{t}{2} \)