Решение уравнения методом Дюамеля по примеру

Задача. Решить уравнение с помощью формулы Дюамеля. \[ \ddot{x} + x = f(t), \text{ где } f(t) = \begin{cases} 0, & t < 0; \\ 3, & 0 \le t < 1; \\ -1, & 1 \le t \le 3; \\ 0, & t > 3, \end{cases} \quad x(0) = \dot{x}(0) = 0. \] Решение \( x(t) \) уравнения \( \ddot{x} + a_1 \dot{x} + a_2 x = f(t) \), \( x(0) = \dot{x}(0) = 0 \) находится в виде свертки функций \( x_1'(t) \) и \( f(t) \), где \( x_1(t) \) — решение уравнения \( \ddot{x} + a_1 \dot{x} + a_2 x = 1 \), \( x_1(0) = \dot{x}(0) = 0 \). \[ x(t) = x_1'(t) * f(t) = \int_0^t x_1'(\tau) f(t - \tau) d\tau = \int_0^t x_1'(t - \tau) f(\tau) d\tau \] Сначала находим решение задачи \( \ddot{x} + x = 1 \), \( x(0) = \dot{x}(0) = 0 \). \[ (p^2 + 1) X(p) = \frac{1}{p} \Rightarrow pX(p) = \frac{1}{p^2 + 1} \Rightarrow x_1'(t) = \sin t. \] Далее по формуле Дюамеля для каждого временного интервала: Для \( 0 < t < 1 \): \( f(t) = 3 \), \[ x(t) = \int_0^t 3 \cdot \sin(t - \tau) d\tau = 3 \cos(t - \tau) |_0^t = 3(1 - \cos t). \] Для \( 1 \le t \le 3 \): \( f(t) = -1 \), \[ x(t) = \int_0^1 3 \cdot \sin(t - \tau) d\tau + \int_1^t (-1) \cdot \sin(t - \tau) d\tau = \] \[ = 3 \cos(t - \tau) |_0^1 + \cos(t - \tau) |_1^t = \] \[ = 3 \cos(t - 1) - 3 \cos t + 1 - \cos(t - 1) = 2 \cos(t - 1) - 3 \cos t + 1. \] Для \( t > 3 \): \( f(t) = 0 \), \[ x(t) = \int_0^1 3 \cdot \sin(t - \tau) d\tau + \int_1^3 (-1) \cdot \sin(t - \tau) d\tau + \int_3^t 0 \cdot \sin(t - \tau) d\tau = \] \[ = 3 \cos(t - \tau) |_0^1 + \cos(t - \tau) |_1^3 + 0 = \] \[ = 3 \cos(t - 1) - 3 \cos t + \cos(t - 3) - \cos(t - 1) = \] \[ = 2 \cos(t - 1) - 3 \cos t + \cos(t - 3). \] Ответ: \[ x(t) = \begin{cases} 3(1 - \cos t), & 0 < t < 1, \\ 2 \cos(t - 1) - 3 \cos t + 1, & 1 \le t \le 3, \\ 2 \cos(t - 1) - 3 \cos t + \cos(t - 3), & t > 3. \end{cases} \]