ВАРИАНТ 4
I.
1. Скорость распространения волны, качающих лодку, равна 1,5 м/с. Определите период колебания лодки, если длина волны равна 6 м.
Дано:
\(v = 1,5 \text{ м/с}\)
\(\lambda = 6 \text{ м}\)
Найти:
\(T\)
Решение:
Скорость распространения волны связана с длиной волны и периодом колебаний формулой:
\[v = \frac{\lambda}{T}\]
Отсюда выразим период колебаний:
\[T = \frac{\lambda}{v}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{6 \text{ м}}{1,5 \text{ м/с}} = 4 \text{ с}\]
Ответ: Период колебания лодки равен 4 с.
2. По графику колебаний (рис. 4) определите амплитуду, период и частоту колебаний.
Дано:
График колебаний (рис. 4)
Найти:
\(A\), \(T\), \(\nu\)
Решение:
По графику видно:
Амплитуда колебаний \(A\) – это максимальное отклонение от положения равновесия. На графике максимальное отклонение по оси \(X\) составляет 50 см.
\[A = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}\]
Период колебаний \(T\) – это время одного полного колебания. По графику видно, что одно полное колебание (например, от 0, через минимум, максимум и обратно к 0) занимает 0,02 с.
\[T = 0,02 \text{ с}\]
Частота колебаний \(\nu\) – это величина, обратная периоду:
\[\nu = \frac{1}{T}\]
Подставим значение периода:
\[\nu = \frac{1}{0,02 \text{ с}} = 50 \text{ Гц}\]
Ответ: Амплитуда колебаний 50 см (0,5 м), период колебаний 0,02 с, частота колебаний 50 Гц.
3. Определите, за какое время нитяной маятник совершит 40 колебаний, если за 60 с он совершает 120 колебаний. Чему равен период колебания?
Дано:
\(N_1 = 120\) колебаний
\(t_1 = 60 \text{ с}\)
\(N_2 = 40\) колебаний
Найти:
\(t_2\), \(T\)
Решение:
Сначала найдем период колебания \(T\). Период – это время, за которое совершается одно колебание. Его можно найти, разделив общее время на количество колебаний:
\[T = \frac{t_1}{N_1}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{60 \text{ с}}{120} = 0,5 \text{ с}\]
Теперь определим время \(t_2\), за которое маятник совершит 40 колебаний. Зная период, мы можем умножить его на количество колебаний:
\[t_2 = T \cdot N_2\]
Подставим значения:
\[t_2 = 0,5 \text{ с} \cdot 40 = 20 \text{ с}\]
Ответ: За 20 с нитяной маятник совершит 40 колебаний. Период колебания равен 0,5 с.
II.
4. Сколько колебаний совершает металлический шарик за время 20 с, подвешенный на нити длиной 1,6 м?
Дано:
\(t = 20 \text{ с}\)
\(L = 1,6 \text{ м}\)
Найти:
\(N\)
Решение:
Для нитяного маятника период колебаний \(T\) определяется формулой:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]
Примем ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
Подставим значение длины нити:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{1,6 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 2\pi\sqrt{0,163} \approx 2\pi \cdot 0,404 \approx 2,54 \text{ с}\]
Количество колебаний \(N\) за время \(t\) можно найти, разделив общее время на период одного колебания:
\[N = \frac{t}{T}\]
Подставим значения:
\[N = \frac{20 \text{ с}}{2,54 \text{ с}} \approx 7,87\]
Поскольку количество колебаний должно быть целым числом, шарик совершит 7 полных колебаний.
Ответ: Металлический шарик совершает примерно 7 колебаний.
5. Определите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м совершает 40 колебаний за 32 с.
Дано:
\(k = 250 \text{ Н/м}\)
\(N = 40\) колебаний
\(t = 32 \text{ с}\)
Найти:
\(m\)
Решение:
Сначала найдем период колебаний \(T\). Период – это время, за которое совершается одно колебание:
\[T = \frac{t}{N}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{32 \text{ с}}{40} = 0,8 \text{ с}\]
Для пружинного маятника период колебаний \(T\) определяется формулой:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[T^2 = 4\pi^2\frac{m}{k}\]
Выразим массу \(m\):
\[m = \frac{T^2 k}{4\pi^2}\]
Подставим известные значения:
\[m = \frac{(0,8 \text{ с})^2 \cdot 250 \text{ Н/м}}{4\pi^2} = \frac{0,64 \text{ с}^2 \cdot 250 \text{ Н/м}}{4 \cdot (3,14)^2} \approx \frac{160}{4 \cdot 9,86} \approx \frac{160}{39,44} \approx 4,06 \text{ кг}\]
Ответ: Масса груза составляет примерно 4,06 кг.
6. Длина морской волны равна 4 м. Определите, сколько колебаний за 20 с совершит на ней надувная резиновая лодка, если скорость распространения волны равна 4 м/с.
Дано:
\(\lambda = 4 \text{ м}\)
\(t = 20 \text{ с}\)
\(v = 4 \text{ м/с}\)
Найти:
\(N\)
Решение:
Сначала найдем период колебаний \(T\). Скорость распространения волны связана с длиной волны и периодом колебаний формулой:
\[v = \frac{\lambda}{T}\]
Отсюда выразим период колебаний:
\[T = \frac{\lambda}{v}\]
Подставим известные значения:
\[T = \frac{4 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 1 \text{ с}\]
Количество колебаний \(N\) за время \(t\) можно найти, разделив общее время на период одного колебания:
\[N = \frac{t}{T}\]
Подставим значения:
\[N = \frac{20 \text{ с}}{1 \text{ с}} = 20\]
Ответ: Надувная резиновая лодка совершит 20 колебаний за 20 с.
III.
7. Маятник на Земле имеет период колебания 1 с. Каков будет его период колебания на Луне (где \(g_л = 1,6 \text{ м/с}^2\))?
Дано:
\(T_з = 1 \text{ с}\)
\(g_л = 1,6 \text{ м/с}^2\)
Найти:
\(T_л\)
Решение:
Период колебаний нитяного маятника определяется формулой:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]
Для Земли:
\[T_з = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_з}}\]
Для Луны:
\[T_л = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_л}}\]
Из формулы для Земли выразим длину маятника \(L\):
\[T_з^2 = 4\pi^2\frac{L}{g_з} \Rightarrow L = \frac{T_з^2 g_з}{4\pi^2}\]
Примем ускорение свободного падения на Земле \(g_з \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
Подставим \(L\) в формулу для Луны:
\[T_л = 2\pi\sqrt{\frac{T_з^2 g_з / (4\pi^2)}{g_л}} = 2\pi\sqrt{\frac{T_з^2 g_з}{4\pi^2 g_л}} = 2\pi \frac{T_з}{2\pi}\sqrt{\frac{g_з}{g_л}} = T_з\sqrt{\frac{g_з}{g_л}}\]
Подставим известные значения:
\[T_л = 1 \text{ с} \cdot \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{1,6 \text{ м/с}^2}} = 1 \text{ с} \cdot \sqrt{6,125} \approx 1 \text{ с} \cdot 2,47 \approx 2,47 \text{ с}\]
Ответ: Период колебания маятника на Луне будет примерно 2,47 с.
8. При определении скорости звука в чугуне у одного конца чугунной трубы ударяли в колокол, у другого конца наблюдатель слышал два звука: сначала – один, пришедший по чугуну, а спустя 2,5 с – другой, пришедший по воздуху. Длина трубы равна 930 м. Определите по этим данным скорость звука в чугуне. Скорость звука в воздухе примите равной 340 м/с.
Дано:
\(\Delta t = 2,5 \text{ с}\)
\(L = 930 \text{ м}\)
\(v_{возд} = 340 \text{ м/с}\)
Найти:
\(v_{чуг}\)
Решение:
Время распространения звука по воздуху \(t_{возд}\) можно найти по формуле:
\[t_{возд} = \frac{L}{v_{возд}}\]
Подставим известные значения:
\[t_{возд} = \frac{930 \text{ м}}{340 \text{ м/с}} \approx 2,735 \text{ с}\]
Время распространения звука по чугуну \(t_{чуг}\) связано с разницей во времени \(\Delta t\):
\[t_{возд} - t_{чуг} = \Delta t\]
Отсюда выразим \(t_{чуг}\):
\[t_{чуг} = t_{возд} - \Delta t\]
Подставим значения:
\[t_{чуг} = 2,735 \text{ с} - 2,5 \text{ с} = 0,235 \text{ с}\]
Скорость звука в чугуне \(v_{чуг}\) можно найти по формуле:
\[v_{чуг} = \frac{L}{t_{чуг}}\]
Подставим значения:
\[v_{чуг} = \frac{930 \text{ м}}{0,235 \text{ с}} \approx 3957,4 \text{ м/с}\]
Ответ: Скорость звука в чугуне составляет примерно 3957,4 м/с.
9. Колеблющийся на нити металлический шарик проходит положение равновесия со скоростью 1 м/с. Определите максимальную высоту, на которую поднимается этот шарик относительно положения равновесия.
Дано:
\(v_{max} = 1 \text{ м/с}\)
Найти:
\(h_{max}\)
Решение:
При прохождении положения равновесия вся потенциальная энергия маятника переходит в кинетическую, а в верхней точке подъема вся кинетическая энергия переходит в потенциальную. По закону сохранения энергии:
\[E_к = E_п\]
\[\frac{m v_{max}^2}{2} = m g h_{max}\]
Масса шарика \(m\) сокращается:
\[\frac{v_{max}^2}{2} = g h_{max}\]
Выразим максимальную высоту \(h_{max}\):
\[h_{max} = \frac{v_{max}^2}{2g}\]
Примем ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
Подставим известные значения