Решение задач с углами: Найдите углы 2, 3 и 4

Ниже представлены решения задач с последней карточки, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача 1 (верхний ряд, справа) Дано: \(\angle 1 = 40^{\circ}\). Найти: \(\angle 2, \angle 3, \angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, значит \(\angle 3 = \angle 1 = 40^{\circ}\). 2) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, их сумма \(180^{\circ}\). \[\angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}\] 3) Углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\) вертикальные, значит \(\angle 4 = \angle 2 = 140^{\circ}\). Ответ: \(140^{\circ}, 40^{\circ}, 140^{\circ}\). Задача 2 (верхний ряд, слева) Дано: \(\angle 1 = 125^{\circ}\). Найти: \(\angle 2, \angle 3, \angle 4\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные: \(\angle 3 = \angle 1 = 125^{\circ}\). 2) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные: \[\angle 2 = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}\] 3) Углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\) вертикальные: \(\angle 4 = \angle 2 = 55^{\circ}\). Ответ: \(55^{\circ}, 125^{\circ}, 55^{\circ}\). Задача 3 (нижний ряд, справа) Дано: \(\angle 1 - \angle 2 = 75^{\circ}\). Найти: \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\). Решение: 1) Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, значит \(\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}\). Составим систему: \[\begin{cases} \angle 1 - \angle 2 = 75^{\circ} \\ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \end{cases}\] Сложим уравнения: \(2 \cdot \angle 1 = 255^{\circ} \Rightarrow \angle 1 = 127,5^{\circ} = 127^{\circ}30'\). 2) Находим \(\angle 2\): \[\angle 2 = 180^{\circ} - 127^{\circ}30' = 52^{\circ}30'\] 3) Углы \(\angle 2\) и \(\angle 3\) вертикальные: \(\angle 3 = \angle 2 = 52^{\circ}30'\). Ответ: \(127^{\circ}30', 52^{\circ}30', 52^{\circ}30'\). Задача 4 (нижний ряд, в центре) Дано: пересечение трех прямых \(a, b, c\). Найти: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3\). Решение: Углы \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\) вместе с вертикальными им углами образуют полный оборот в \(360^{\circ}\). Заметим, что \(\angle 1, \angle 2, \angle 3\) примыкают друг к другу и в сумме образуют развернутый угол, так как их стороны являются дополнительными лучами (они лежат по одну сторону от прямой \(b\)). \[\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}\] Ответ: \(180^{\circ}\). Задача 5 (отдельная карточка слева) Дано: \(\angle EOB = 40^{\circ}\), \(\angle FOD = 30^{\circ}\). Найти: \(\angle AOC\). Решение: 1) Углы \(\angle FOD\) и \(\angle COA\) (или \(\angle AOC\)) не являются вертикальными напрямую, но рассмотрим пересекающиеся прямые \(AB\) и \(CD\). 2) Угол \(\angle AOF\) вертикален углу \(\angle EOB\)? Нет, на чертеже прямые \(EF\), \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). 3) Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) вертикальные. \[\angle BOD = \angle BOE + \angle EOD\] Если предположить, что \(EF\) и \(CD\) — прямые, то \(\angle AOC = \angle BOD\). Из рисунка: \(\angle AOC\) вертикален углу \(\angle BOD\). \[\angle BOD = \angle BOE + \angle EOD\] Однако, проще увидеть, что \(\angle AOC\) вертикален углу \(\angle BOD\). А \(\angle BOD\) состоит из углов, вертикальных данным. Угол \(\angle AOC\) вертикален углу \(\angle BOD\). По чертежу: \(\angle AOC = \angle BOD\). Угол \(\angle BOD = 180^{\circ} - (\angle AOC + \dots)\) — это неверный путь. Правильно: \(\angle AOC\) вертикален \(\angle BOD\). \(\angle EOB = 40^{\circ}\). Его вертикальный угол \(\angle AOF = 40^{\circ}\). Тогда \(\angle AOC = \angle AOF + \angle FOC\). Если \(CD\) и \(EF\) прямые, то \(\angle FOC = 180^{\circ}\) (не подходит). Посмотрим иначе: \(\angle AOC\) вертикален \(\angle BOD\). \(\angle BOD = \angle BOE + \angle EOD\). Если \(EF\) — прямая, то \(\angle EOD = 180^{\circ} - \angle FOD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}\). Тогда \(\angle BOD = 40^{\circ} + 150^{\circ}\) (невозможно). Скорее всего, на рисунке три прямые: \(AB, CD, EF\). Тогда \(\angle AOC = \angle BOD\). \(\angle BOD = \angle BOE + \angle EOD\). \(\angle EOD\) вертикален \(\angle COF\). Сумма углов по одну сторону прямой \(AB\): \(\angle AOC + \angle COF + \angle FOB = 180^{\circ}\). \(\angle FOB = \angle EOA\) (вертикальные). \(\angle AOC = \angle BOD = \angle BOE + \angle EOD = 40^{\circ} + \angle EOD\). \(\angle EOD = \angle COF\). \(\angle FOD = 30^{\circ}\). Его вертикальный \(\angle COE = 30^{\circ}\). Тогда \(\angle AOC = \angle COE + \angle EOA = 30^{\circ} + 40^{\circ} = 70^{\circ}\). Ответ: \(70^{\circ}\).