Решение Задания 6: Подробный Разбор

Ниже представлено решение всех заданий из присланных изображений в удобном для переписывания виде. Задание 6 (первое сверху) Найдите значение выражения \( 3\frac{8}{45} \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{8}{35} \). Представьте результат в виде несократимой дроби и запишите числитель. Решение: 1) Переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ 3\frac{8}{45} = \frac{3 \cdot 45 + 8}{45} = \frac{135 + 8}{45} = \frac{143}{45} \] 2) Выполним умножение: \[ \frac{143}{45} \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{8}{35} = \frac{143 \cdot 1 \cdot 8}{45 \cdot 13 \cdot 35} \] Заметим, что \( 143 = 11 \cdot 13 \). Сократим на 13: \[ \frac{11 \cdot 8}{45 \cdot 35} = \frac{88}{1575} \] Дробь несократимая. Числитель равен 88. Ответ: 88. Задание 6 (второе сверху) Найдите значение выражения \( \frac{2}{15} + \frac{7}{27} \cdot 3\frac{3}{11} \). Запишите числитель несократимой дроби. Решение: 1) Выполним умножение: \[ \frac{7}{27} \cdot 3\frac{3}{11} = \frac{7}{27} \cdot \frac{36}{11} = \frac{7 \cdot 36}{27 \cdot 11} \] Сократим 36 и 27 на 9: \[ \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 11} = \frac{28}{33} \] 2) Выполним сложение: \[ \frac{2}{15} + \frac{28}{33} \] Общий знаменатель для 15 (3*5) и 33 (3*11) равен \( 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165 \). \[ \frac{2 \cdot 11}{165} + \frac{28 \cdot 5}{165} = \frac{22 + 140}{165} = \frac{162}{165} \] Сократим на 3: \[ \frac{54}{55} \] Числитель равен 54. Ответ: 54. Задание 6 (третье сверху) Найдите значение выражения \( 18 \cdot (\frac{1}{9})^2 - 20 \cdot \frac{1}{9} \). Решение: \[ 18 \cdot \frac{1}{81} - \frac{20}{9} = \frac{18}{81} - \frac{20}{9} \] Сократим первую дробь на 9: \[ \frac{2}{9} - \frac{20}{9} = \frac{2 - 20}{9} = -\frac{18}{9} = -2 \] Ответ: -2. Задание 6 (четвертое сверху) Найдите значение выражения \( 21 \cdot (\frac{1}{7})^2 - 10 \cdot \frac{1}{7} \). Решение: \[ 21 \cdot \frac{1}{49} - \frac{10}{7} = \frac{21}{49} - \frac{10}{7} \] Сократим первую дробь на 7: \[ \frac{3}{7} - \frac{10}{7} = \frac{3 - 10}{7} = -\frac{7}{7} = -1 \] Ответ: -1. Задание 20 Решите уравнение \( (x^2 - 49)^2 + (x^2 + 4x - 21)^2 = 0 \). Решение: Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю одновременно. Получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 4x - 21 = 0 \end{cases} \] 1) Решим первое уравнение: \[ x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7 \] 2) Проверим эти корни во втором уравнении: При \( x = 7 \): \( 7^2 + 4 \cdot 7 - 21 = 49 + 28 - 21 = 56 \neq 0 \) (не подходит). При \( x = -7 \): \( (-7)^2 + 4 \cdot (-7) - 21 = 49 - 28 - 21 = 0 \) (подходит). Ответ: -7. Задание 21 Баржа прошла по течению 40 км и обратно 30 км, затратив 5 часов. Скорость течения 5 км/ч. Найти собственную скорость баржи. Решение: Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость баржи (\( x > 5 \)). Тогда скорость по течению \( x + 5 \) км/ч, а против течения \( x - 5 \) км/ч. Составим уравнение по времени: \[ \frac{40}{x + 5} + \frac{30}{x - 5} = 5 \] Разделим обе части на 5: \[ \frac{8}{x + 5} + \frac{6}{x - 5} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{8(x - 5) + 6(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1 \] \[ 8x - 40 + 6x + 30 = x^2 - 25 \] \[ 14x - 10 = x^2 - 25 \] \[ x^2 - 14x - 15 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 15, x_2 = -1 \] Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только \( x = 15 \). Ответ: 15 км/ч.