Решение задачи: Колебательный контур и гармонические колебания (Вариант 6)

Вариант 6 1. Колебательный контур. Формула Томсона. Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора, в которой могут возникать электромагнитные колебания. Формула Томсона для периода свободных электромагнитных колебаний в идеальном контуре: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \] где \( L \) — индуктивность катушки, \( C \) — электроемкость конденсатора. 2. Записать уравнение гармонических колебаний. Дано: \( A = 5,0 \cdot 10^{-2} \) м \( T = 0,01 \) с \( \phi_0 = 0 \) Найти: \( \nu \) — ? \( \omega \) — ? \( x(t) \) — ? Решение: Частота колебаний: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,01} = 100 \text{ Гц} \] Циклическая частота: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,01} = 200\pi \text{ рад/с} \] Уравнение гармонических колебаний имеет вид: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0) \] Подставляя значения: \[ x(t) = 5,0 \cdot 10^{-2} \cos(200\pi t) \] Ответ: \( \nu = 100 \text{ Гц} \), \( \omega = 200\pi \text{ рад/с} \), \( x(t) = 0,05 \cos(200\pi t) \). 3. Сравнение жесткостей пружин. Дано: \( m_1 = m_2 = m \) \( \nu_1 = 3\nu_2 \) Найти: \( \frac{k_1}{k_2} \) — ? Решение: Частота колебаний пружинного маятника: \[ \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \] Тогда: \[ \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}} \] Возведем в квадрат: \[ \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 = \frac{k_1}{k_2} \] Так как \( \frac{\nu_1}{\nu_2} = 3 \), то: \[ \frac{k_1}{k_2} = 3^2 = 9 \] Ответ: жесткость первой пружины в 9 раз больше. 4. Изменение длины маятника на Луне. Дано: \( T_Л = T_З \) \( g_З = 6g_Л \) Найти: \( \frac{l_Л}{l_З} \) — ? Решение: Период колебаний математического маятника: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] Чтобы периоды были равны (\( T_Л = T_З \)), должно выполняться условие: \[ \frac{l_Л}{g_Л} = \frac{l_З}{g_З} \] Отсюда отношение длин: \[ \frac{l_Л}{l_З} = \frac{g_Л}{g_З} \] Так как \( g_З = 6g_Л \), то \( \frac{g_Л}{g_З} = \frac{1}{6} \). Следовательно, длину маятника нужно уменьшить в 6 раз. Ответ: уменьшить в 6 раз. 5. Период электромагнитных колебаний в контуре. Дано: \( L = 0,25 \text{ Гн} \) \( C = 0,4 \text{ мкФ} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \) Найти: \( T \) — ? Решение: Используем формулу Томсона: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \] Подставим значения: \[ T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{0,25 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} \] \[ T = 6,28 \cdot \sqrt{0,1 \cdot 10^{-6}} = 6,28 \cdot \sqrt{10^{-7}} \approx 6,28 \cdot 3,16 \cdot 10^{-4} \approx 1,98 \cdot 10^{-3} \text{ с} \] Или более точно через корень: \[ T = 2\pi \sqrt{0,25 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = 2\pi \sqrt{10^{-7}} = 2\pi \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{0,1} \approx 0,002 \text{ с} \] Ответ: \( T \approx 2 \text{ мс} \).