Решение задач по физике, Вариант 6

Вариант 6 Задание 1. Колебательный контур. Формула Томсона. Формула Томсона определяет период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \] где \( L \) — индуктивность катушки, \( C \) — электроемкость конденсатора. Задание 2. Дано: \( A = 5,0 \cdot 10^{-2} \) м \( T = 0,01 \) с \( \phi_0 = 0 \) Найти: \( \nu \), \( \omega \), уравнение \( x(t) \). Решение: 1) Частота колебаний: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,01} = 100 \text{ Гц} \] 2) Циклическая частота: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,01} = 200\pi \text{ рад/с} \] 3) Уравнение гармонических колебаний имеет вид \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0) \). Подставим значения: \[ x(t) = 5,0 \cdot 10^{-2} \cos(200\pi t) \] Ответ: \( \nu = 100 \text{ Гц} \), \( \omega = 200\pi \text{ рад/с} \), \( x(t) = 0,05 \cos(200\pi t) \). Задание 3. Дано: \( m_1 = m_2 = m \) \( \nu_1 = 3\nu_2 \) Найти: \( \frac{k_1}{k_2} \) Решение: Частота пружинного маятника: \( \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \). Тогда \( \nu^2 = \frac{k}{4\pi^2 m} \), откуда \( k = 4\pi^2 m \nu^2 \). Запишем отношение жесткостей: \[ \frac{k_1}{k_2} = \frac{4\pi^2 m \nu_1^2}{4\pi^2 m \nu_2^2} = \frac{\nu_1^2}{\nu_2^2} = \left(\frac{\nu_1}{\nu_2}\right)^2 \] Подставим условие \( \nu_1 = 3\nu_2 \): \[ \frac{k_1}{k_2} = 3^2 = 9 \] Ответ: жесткость первой пружины в 9 раз больше. Задание 4. Дано: \( g_л = \frac{1}{6}g_з \) \( T_л = T_з \) Найти: \( \frac{l_л}{l_з} \) Решение: Период математического маятника: \( T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \). Чтобы периоды были равны (\( T_л = T_з \)), должно выполняться условие: \[ \frac{l_л}{g_л} = \frac{l_з}{g_з} \Rightarrow \frac{l_л}{l_з} = \frac{g_л}{g_з} \] Так как по условию \( g_л = \frac{1}{6}g_з \), то: \[ \frac{l_л}{l_з} = \frac{1}{6} \] Ответ: длину маятника на Луне нужно уменьшить в 6 раз. Задание 5. Дано: \( L = 0,25 \text{ Гн} \) \( C = 0,4 \text{ мкФ} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \) Найти: \( T \) Решение: Используем формулу Томсона: \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \] Подставим числовые значения: \[ T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{0,25 \cdot 0,4 \cdot 10^{-6}} = 6,28 \cdot \sqrt{0,1 \cdot 10^{-6}} = 6,28 \cdot \sqrt{10^{-7}} \] Для удобства вычислений: \( 0,1 \cdot 10^{-6} = 100 \cdot 10^{-9} \) или \( 10^{-7} \). \[ T \approx 6,28 \cdot 3,16 \cdot 10^{-4} \approx 19,8 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 1,98 \text{ мс} \] Ответ: \( T \approx 2 \text{ мс} \).