Решение задач по темам 2 и 3 Вариант 8

Для выполнения заданий по темам 2 и 3 для Варианта 8, мы будем использовать данные из соответствующих таблиц. Ниже представлено подробное решение, оформленное для переписывания в тетрадь. Тема 2. Средние величины и показатели вариации Задание: Построить интервальный ряд распределения признака «Стаж работы, мес.» (графа 8), рассчитать среднее значение, моду, медиану, показатели вариации, асимметрию и эксцесс. 1. Исходные данные (выборка \( n = 20 \)): 26, 63, 94, 16, 49, 14, 78, 10, 130, 20, 86, 29, 75, 22, 32, 21, 96, 70, 59, 98. 2. Построение интервального ряда: \[ x_{min} = 10, \quad x_{max} = 130, \quad R = 130 - 10 = 120 \] Число групп по формуле Стерджеса: \( k = 1 + 3,322 \cdot \lg(20) \approx 5 \). Ширина интервала: \( h = \frac{120}{5} = 24 \). Таблица распределения: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал стажа} & \text{Середина (x_i)} & \text{Частота (f_i)} & x_i \cdot f_i \\ \hline 10 - 34 & 22 & 9 & 198 \\ 34 - 58 & 46 & 1 & 46 \\ 58 - 82 & 70 & 5 & 350 \\ 82 - 106 & 94 & 4 & 376 \\ 106 - 130 & 118 & 1 & 118 \\ \hline \text{Итого} & - & 20 & 1088 \\ \hline \end{array} \] 3. Расчет средних величин: Средняя арифметическая: \[ \bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{1088}{20} = 54,4 \text{ мес.} \] Мода (лежит в первом интервале): \[ Mo = x_0 + h \frac{f_{mo} - f_{mo-1}}{(f_{mo} - f_{mo-1}) + (f_{mo} - f_{mo+1})} = 10 + 24 \frac{9-0}{(9-0)+(9-1)} = 10 + 12,7 = 22,7 \] Медиана (номер медианы \( \frac{20}{2} = 10 \), попадает в интервал 34-58): \[ Me = x_0 + h \frac{0,5 \sum f_i - S_{me-1}}{f_{me}} = 34 + 24 \frac{10 - 9}{1} = 58 \] 4. Показатели вариации: Дисперсия: \( \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 f_i}{\sum f_i} \approx 1124,6 \) Среднее квадратическое отклонение: \( \sigma = \sqrt{1124,6} \approx 33,53 \) Коэффициент вариации: \( V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\% = \frac{33,53}{54,4} \cdot 100\% \approx 61,6\% \) (совокупность неоднородна). Тема 3. Выборочное наблюдение Задание: По данным 5% выборки (Вариант 8) определить характеристики вкладов. 1. Расчет среднего размера вклада в выборке: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Размер вклада (у.е.)} & \text{Середина (x_i)} & \text{Число (f_i)} & x_i \cdot f_i \\ \hline \text{до 5000} & 2500 & 90 & 225000 \\ 5000 - 15000 & 10000 & 65 & 650000 \\ 15000 - 30000 & 22500 & 140 & 3150000 \\ 30000 - 50000 & 40000 & 75 & 3000000 \\ \text{свыше 50000} & 60000 & 5 & 300000 \\ \hline \text{Итого} & - & 375 & 7325000 \\ \hline \end{array} \] \[ \bar{x}_{выб} = \frac{7325000}{375} = 19533,3 \text{ у.е.} \] 2. Ошибка выборки для среднего (при \( P = 0,954, t = 2 \)): Сначала найдем выборочную дисперсию \( \sigma^2 \approx 168000000 \). \[ \Delta_x = t \sqrt{\frac{\sigma^2}{n} (1 - \frac{n}{N})} \] Так как выборка 5%, то \( \frac{n}{N} = 0,05 \). \[ \Delta_x = 2 \sqrt{\frac{168000000}{375} (1 - 0,05)} = 2 \sqrt{425600} \approx 1304,7 \] Средний размер вклада в банке: \( 19533,3 \pm 1304,7 \) у.е. 3. Доля вкладов свыше 15000 у.е.: Число таких вкладов: \( 140 + 75 + 5 = 220 \). Выборочная доля: \( w = \frac{220}{375} = 0,587 \). Предельная ошибка доли: \[ \Delta_w = t \sqrt{\frac{w(1-w)}{n} (1 - 0,05)} = 2 \sqrt{\frac{0,587 \cdot 0,413}{375} \cdot 0,95} \approx 0,049 \] Доля во всем банке: \( 0,587 \pm 0,049 \) (или \( 53,8\% - 63,6\% \)). 4. Необходимая численность выборки (для ошибки не более 10% от доли): Ошибка \( \Delta = 0,1 \cdot 0,587 = 0,0587 \). \[ n = \frac{t^2 w(1-w)}{\Delta^2} = \frac{2^2 \cdot 0,587 \cdot 0,413}{0,0587^2} \approx 281 \text{ чел.} \]