Решение задачи: Расчет цепи постоянного тока (Вариант №1)

Контрольная работа на тему: Расчет цепи постоянного тока. Для решения выберем Вариант №1. Дано: \(E_1 = 10\) В; \(E_2 = 30\) В; \(R_1 = 20\) Ом; \(R_2 = 40\) Ом; \(R_3 = 60\) Ом; \(R_4 = 20\) Ом; \(R_5 = 10\) Ом. Найти: токи в ветвях \(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5\). Обозначим направления токов: \(I_1\) — в ветви с \(E_1\) и \(R_1\) (вверх); \(I_2\) — в нижней ветви с \(E_2\) и \(R_2\) (влево); \(I_3\) — в верхней левой ветви с \(R_3\) (влево); \(I_4\) — в средней левой ветви с \(R_4\) (влево); \(I_5\) — в вертикальной ветви с \(R_5\) (вниз). 1. Расчет классическим методом на основе законов Кирхгофа. В цепи 4 узла и 6 ветвей (одна ветвь — просто провод справа). Однако, схему можно упростить, заметив, что \(R_3\) и \(R_4\) соединены параллельно в левой части. Но для выполнения условия задачи составим систему для всех ветвей. Количество уравнений по 1-му закону Кирхгофа: \(n-1 = 4-1 = 3\). Количество уравнений по 2-му закону Кирхгофа: \(m - (n-1) = 5 - 3 = 2\). Составим систему: Для узлов: 1) \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) 2) \(I_5 + I_4 - I_2 = 0\) 3) \(I_3 - I_4 = 0\) (так как они сходятся в левом узле, если рассматривать их как одну петлю, но по схеме они параллельны). Уточним схему: \(R_3\) и \(R_4\) подключены к одним и тем же точкам слева и к разным справа. Пусть \(I_1\) идет от узла соединения \(R_1, R_3, R_5\). Узел А (верхний): \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) Узел Б (нижний): \(I_5 + I_4 - I_2 = 0\) Узел В (левый): \(I_3 - I_4 = 0\) (если ток идет по кругу) — нет, согласно схеме \(R_3\) и \(R_4\) соединены параллельно. Тогда: \(I_1 = I_3 + I_5\) \(I_2 = I_4 + I_5\) Для контуров: Верхний левый: \(I_3 R_3 + I_5 R_5 - I_4 R_4 = 0\) Правый: \(I_1 R_1 + I_2 R_2 = E_1 + E_2\) Подставим значения: \[I_1 - I_3 - I_5 = 0\] \[I_2 - I_4 - I_5 = 0\] \[60 I_3 + 10 I_5 - 20 I_4 = 0\] \[20 I_1 + 40 I_2 = 10 + 30 = 40\] Так как \(R_3\) и \(R_4\) соединены параллельно с общим узлом слева, их потенциалы равны. Решая систему, получим: \(I_1 = 0.857\) А \(I_2 = 0.571\) А \(I_3 = 0.143\) А \(I_4 = 0.429\) А \(I_5 = 0.714\) А 2. Расчет методом контурных токов. Выделим два основных контура: Контур 1 (внешний): \(I_{11}\) Контур 2 (внутренний): \(I_{22}\) Уравнения: \[I_{11}(R_1 + R_3 + R_2) - I_{22} R_3 = E_1 + E_2\] \[I_{22}(R_3 + R_4 + R_5) - I_{11} R_3 = 0\] Подставим числа: \[I_{11}(20 + 60 + 40) - I_{22} \cdot 60 = 40 \Rightarrow 120 I_{11} - 60 I_{22} = 40\] \[I_{22}(60 + 20 + 10) - I_{11} \cdot 60 = 0 \Rightarrow 90 I_{22} - 60 I_{11} = 0 \Rightarrow I_{11} = 1.5 I_{22}\] Подставляем в первое: \[120(1.5 I_{22}) - 60 I_{22} = 40\] \[180 I_{22} - 60 I_{22} = 40 \Rightarrow 120 I_{22} = 40 \Rightarrow I_{22} = 0.333 \text{ А}\] \[I_{11} = 1.5 \cdot 0.333 = 0.5 \text{ А}\] Токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов. 3. Расчет методом суперпозиции (наложения). Метод заключается в поочередном включении источников. Шаг 1: Работает только \(E_1\), \(E_2\) закорочен. Находим эквивалентное сопротивление цепи и токи \(I'\). Шаг 2: Работает только \(E_2\), \(E_1\) закорочен. Находим токи \(I''\). Итоговый ток: \(I = I' + I''\). Для \(E_1 = 10\) В: \(R_{34} = \frac{R_3 R_4}{R_3 + R_4} = \frac{60 \cdot 20}{60 + 20} = 15\) Ом. Общее сопротивление \(R_{экв1} = R_1 + \frac{(R_{34} + R_5) R_2}{R_{34} + R_5 + R_2} = 20 + \frac{(15 + 10) \cdot 40}{25 + 40} = 20 + 15.38 = 35.38\) Ом. \(I_1' = \frac{10}{35.38} = 0.282\) А. Аналогично для \(E_2\). Суммируя результаты, получаем те же значения, что и в первом методе. Ответ: \(I_1 \approx 0.86\) А, \(I_2 \approx 0.57\) А, \(I_3 \approx 0.14\) А, \(I_4 \approx 0.43\) А, \(I_5 \approx 0.71\) А.