Решение задач по геометрии. Многогранники.

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown.
НПО 2 курс КТ № 2 Тема «Многогранники» Вариант 4. Обязательная часть.
1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды?
Решение: У пирамиды есть основание и боковые грани. Основание шестиугольной пирамиды – это шестиугольник, то есть 1 грань. Боковые грани – это треугольники, количество которых равно количеству сторон основания. У шестиугольника 6 сторон, значит, 6 боковых граней. Общее количество граней = количество граней основания + количество боковых граней. Общее количество граней = \(1 + 6 = 7\).
Ответ: Б) 7
2. Какое наименьшее число ребер может иметь призма?
Решение: Призма состоит из двух оснований и боковых ребер. Наименьшее количество сторон у многоугольника, который может быть основанием, – это 3 (треугольник). Если основание – треугольник, то у него 3 ребра. Так как оснований два, то \(3 \times 2 = 6\) ребер в основаниях. Количество боковых ребер равно количеству сторон основания. Для треугольного основания это 3 боковых ребра. Общее количество ребер = количество ребер в основаниях + количество боковых ребер. Общее количество ребер = \(6 + 3 = 9\).
Ответ: А) 9
3. Выберите верное утверждение:
Решение: Рассмотрим каждое утверждение: А) высота пирамиды называется апофемой; Неверно. Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины к стороне основания. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Б) боковые грани усеченной пирамиды – прямоугольники; Неверно. Боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции. Прямоугольниками они могут быть только в частных случаях, например, у прямой призмы, которая является частным случаем усеченной пирамиды с равными основаниями.
В) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; Неверно. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Для произвольной пирамиды нет такой простой формулы.
Г) пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник; Неверно. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника.
Д) усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Верно. Это определение правильной усеченной пирамиды.
Ответ: Д)
4. Найти ребро куба, если площадь диагонального сечения равна \(4\sqrt{2}\) см\(^2\).
Решение: Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональное сечение куба – это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника – это ребро куба, то есть \(a\). Вторая сторона этого прямоугольника – это диагональ грани куба. Диагональ грани куба (квадрата со стороной \(a\)) находится по теореме Пифагора: \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Площадь диагонального сечения \(S_{сеч}\) равна произведению его сторон: \(S_{сеч} = a \times a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}\). По условию, \(S_{сеч} = 4\sqrt{2}\) см\(^2\). Приравниваем выражения для площади: \(a^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(a^2 = 4\). Извлекаем квадратный корень: \(a = \sqrt{4}\). Так как длина ребра не может быть отрицательной, то \(a = 2\) см.
Ответ: А) 2 см
5. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10см, 2см, 5см.
Решение: Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(a = 10\) см, \(b = 2\) см, \(c = 5\) см. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда \(S_{полн}\) вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2(ab + bc + ac)\). Подставим значения: \(S_{полн} = 2(10 \times 2 + 2 \times 5 + 10 \times 5)\). \(S_{полн} = 2(20 + 10 + 50)\). \(S_{полн} = 2(80)\). \(S_{полн} = 160\) см\(^2\).
Ответ: Б) 160см\(^2\)
6. Высота прямой призмы равна 6 см, основание – прямоугольный треугольник с катетами 3см и 4см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Высота прямой призмы \(h = 6\) см. Основание – прямоугольный треугольник с катетами \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Площадь боковой поверхности прямой призмы \(S_{бок}\) вычисляется по формуле: \(S_{бок} = P_{осн} \times h\), где \(P_{осн}\) – периметр основания. Сначала найдем гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). \(c = \sqrt{3^2 + 4^2}\). \(c = \sqrt{9 + 16}\). \(c = \sqrt{25}\). \(c = 5\) см. Теперь найдем периметр основания: \(P_{осн} = a + b + c\). \(P_{осн} = 3 + 4 + 5\). \(P_{осн} = 12\) см. Теперь найдем площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P_{осн} \times h\). \(S_{бок} = 12 \times 6\). \(S_{бок} = 72\) см\(^2\).
Ответ: Б) 72 см\(^2\)