Задача 8
Найдите площадь поверхности правильного икосаэдра, ребро которого равно 4 см.
Решение:
Правильный икосаэдр состоит из 20 одинаковых правильных треугольников.
Площадь одного правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\]В нашем случае ребро \(a = 4\) см.
Подставим значение \(a\) в формулу:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \text{ см}^2\]Площадь всей поверхности икосаэдра \(S_{\text{икосаэдра}}\) равна площади одного треугольника, умноженной на количество граней (20):
\[S_{\text{икосаэдра}} = 20 \cdot S_{\text{треугольника}} = 20 \cdot 4 \sqrt{3} = 80 \sqrt{3} \text{ см}^2\]Ответ: Б) \(80 \sqrt{3} \text{ см}^2\)
Задача 9
Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в ее основании, и равны 12 см. Найдите высоту пирамиды.
Решение:
Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания. В данном случае основанием является прямоугольный треугольник.
Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(c\). По условию, боковые ребра пирамиды равны гипотенузе основания, то есть \(L = c = 12\) см.
Радиус описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы:
\[R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}\]Высота пирамиды \(H\), боковое ребро \(L\) и радиус описанной окружности \(R\) образуют прямоугольный треугольник, где \(L\) является гипотенузой.
По теореме Пифагора:
\[H^2 + R^2 = L^2\]Подставим известные значения:
\[H^2 + 6^2 = 12^2\] \[H^2 + 36 = 144\] \[H^2 = 144 - 36\] \[H^2 = 108\] \[H = \sqrt{108}\]Разложим 108 на множители:
\[108 = 36 \cdot 3\] \[H = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \text{ см}\]Ответ: А) \(6 \sqrt{3} \text{ см}\)
Задача 10 (из рукописного текста)
Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:4, диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{189}\) см. Найти тангенс угла между диагональю и плоскостью основания.
Решение:
Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны \(a\), \(b\), \(c\).
По условию, они относятся как 1:2:4. Значит, можно записать:
\[a = x\] \[b = 2x\] \[c = 4x\]Диагональ прямоугольного параллелепипеда \(D\) вычисляется по формуле:
\[D^2 = a^2 + b^2 + c^2\]По условию, \(D = \sqrt{189}\) см. Подставим значения:
\[(\sqrt{189})^2 = (x)^2 + (2x)^2 + (4x)^2\] \[189 = x^2 + 4x^2 + 16x^2\] \[189 = 21x^2\] \[x^2 = \frac{189}{21}\] \[x^2 = 9\] \[x = \sqrt{9}\] \[x = 3\]Теперь найдем измерения параллелепипеда:
\[a = 3 \text{ см}\] \[b = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\] \[c = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}\]Нам нужно найти тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
Пусть \(\alpha\) - это угол между диагональю параллелепипеда \(D\) и плоскостью основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда \(D\), высотой параллелепипеда \(c\) и диагональю основания \(d_{\text{осн}}\).
В этом треугольнике высота \(c\) является противолежащим катетом к углу \(\alpha\), а диагональ основания \(d_{\text{осн}}\) является прилежащим катетом.
Диагональ основания \(d_{\text{осн}}\) вычисляется по формуле:
\[d_{\text{осн}}^2 = a^2 + b^2\] \[d_{\text{осн}}^2 = 3^2 + 6^2\] \[d_{\text{осн}}^2 = 9 + 36\] \[d_{\text{осн}}^2 = 45\] \[d_{\text{осн}} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5} \text{ см}\]Теперь найдем тангенс угла \(\alpha\):
\[\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{c}{d_{\text{осн}}}\] \[\tan \alpha = \frac{12}{3 \sqrt{5}}\] \[\tan \alpha = \frac{4}{\sqrt{5}}\]Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\):
\[\tan \alpha = \frac{4 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}\]Ответ: Тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен \(\frac{4 \sqrt{5}}{5}\).