Задачи
1. Найти формулу минерала, с массовой долей алюминия 10,04% и кремния 31,35%. Минерал содержит еще два элемента X и Y в массовом соотношении 1:10,625.
Решение:
Пусть формула минерала \(Al_aSi_bX_cY_d\).
Примем массу минерала за 100 г.
Тогда масса алюминия \(m(Al) = 100 \text{ г} \cdot 0,1004 = 10,04 \text{ г}\).
Масса кремния \(m(Si) = 100 \text{ г} \cdot 0,3135 = 31,35 \text{ г}\).
Определим количество вещества (моли) алюминия и кремния:
\(n(Al) = \frac{m(Al)}{M(Al)} = \frac{10,04 \text{ г}}{26,98 \text{ г/моль}} \approx 0,372 \text{ моль}\).
\(n(Si) = \frac{m(Si)}{M(Si)} = \frac{31,35 \text{ г}}{28,09 \text{ г/моль}} \approx 1,116 \text{ моль}\).
Найдем соотношение молей \(Al\) и \(Si\):
\(n(Al) : n(Si) = 0,372 : 1,116\).
Разделим оба числа на наименьшее (0,372):
\(0,372/0,372 : 1,116/0,372 \approx 1 : 3\).
Значит, в формуле на 1 атом алюминия приходится 3 атома кремния. Пока что формула \(AlSi_3...\).Масса элементов X и Y составляет оставшуюся часть массы минерала:
\(m(X+Y) = 100 \text{ г} - 10,04 \text{ г} - 31,35 \text{ г} = 58,61 \text{ г}\).
Дано массовое соотношение \(m(X) : m(Y) = 1 : 10,625\).
Пусть \(m(X) = k\), тогда \(m(Y) = 10,625k\).
\(k + 10,625k = 58,61 \text{ г}\).
\(11,625k = 58,61 \text{ г}\).
\(k = \frac{58,61}{11,625} \approx 5,042 \text{ г}\).
Значит, \(m(X) = 5,042 \text{ г}\) и \(m(Y) = 10,625 \cdot 5,042 \approx 53,568 \text{ г}\).
Минералы, содержащие алюминий и кремний, часто являются алюмосиликатами, в состав которых входят кислород и другие металлы. Предположим, что X и Y - это кислород и какой-то металл.
Если X - это кислород (O), то \(n(O) = \frac{5,042 \text{ г}}{16,00 \text{ г/моль}} \approx 0,315 \text{ моль}\).
Если Y - это кислород (O), то \(n(O) = \frac{53,568 \text{ г}}{16,00 \text{ г/моль}} \approx 3,348 \text{ моль}\).
Рассмотрим вариант, что Y - это кислород, так как его массовая доля значительно больше.
Тогда \(m(O) = 53,568 \text{ г}\), \(n(O) = 3,348 \text{ моль}\).
Элемент X имеет массу \(m(X) = 5,042 \text{ г}\).
Найдем соотношение молей \(Al : Si : O\):
\(0,372 : 1,116 : 3,348\).
Разделим на 0,372:
\(1 : 3 : 9\).
Таким образом, на 1 атом алюминия приходится 3 атома кремния и 9 атомов кислорода. Формула \(AlSi_3O_9\).
Теперь определим элемент X. Его масса 5,042 г. Если это щелочной или щелочноземельный металл, то он должен быть в составе алюмосиликата.
Рассмотрим возможные валентности элементов. Алюминий обычно трехвалентен, кремний четырехвалентен, кислород двухвалентен.
В формуле \(AlSi_3O_9\):
Суммарный положительный заряд от \(Al\) и \(Si\): \(1 \cdot (+3) + 3 \cdot (+4) = +3 + 12 = +15\).
Суммарный отрицательный заряд от \(O\): \(9 \cdot (-2) = -18\).
Разница зарядов: \(-18 - (+15) = -33\). Это неверно. Должно быть \(+15 - 18 = -3\).
Значит, элемент X должен иметь заряд \(+3\).
Если элемент X одновалентен, то его молярная масса \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{0,372 \text{ моль}} \approx 13,55 \text{ г/моль}\). Такого элемента нет.
Если элемент X двухвалентен, то его молярная масса \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{0,372/2 \text{ моль}} \approx 27,1 \text{ г/моль}\). Это может быть магний (Mg, \(M \approx 24,3\)) или кальций (Ca, \(M \approx 40,08\)).
Если элемент X трехвалентен, то его молярная масса \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{0,372/3 \text{ моль}} \approx 40,6 \text{ г/моль}\). Это может быть скандий (Sc, \(M \approx 44,96\)).
Давайте пересчитаем моли, если X - это металл, а Y - кислород.
Пусть \(n(Al) = 0,372 \text{ моль}\).
Пусть \(n(Si) = 1,116 \text{ моль}\).
Пусть \(n(O) = 3,348 \text{ моль}\).
Соотношение \(Al : Si : O = 1 : 3 : 9\).
Тогда формула \(AlSi_3O_9\). В этом случае заряд \((+3) + 3 \cdot (+4) + 9 \cdot (-2) = 3 + 12 - 18 = -3\).
Значит, элемент X должен быть трехвалентным металлом, и его количество вещества должно быть \(0,372/3 = 0,124 \text{ моль}\).
Тогда \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{0,124 \text{ моль}} \approx 40,66 \text{ г/моль}\). Это очень близко к кальцию (Ca, \(M \approx 40,08\)). Но кальций двухвалентен.
Давайте предположим, что X - это кальций (Ca), а Y - кислород (O).
Тогда \(n(Ca) = \frac{5,042 \text{ г}}{40,08 \text{ г/моль}} \approx 0,1258 \text{ моль}\).
Соотношение молей \(Al : Si : Ca : O\):
\(0,372 : 1,116 : 0,1258 : 3,348\).
Разделим на наименьшее (0,1258):
\(0,372/0,1258 \approx 2,95 \approx 3\).
\(1,116/0,1258 \approx 8,87 \approx 9\).
\(0,1258/0,1258 = 1\).
\(3,348/0,1258 \approx 26,6 \approx 27\).
Получаем соотношение \(Al_3Si_9CaO_{27}\). Это можно упростить, разделив на 3: \(AlSi_3Ca_{1/3}O_9\). Это не целые числа.
Давайте вернемся к соотношению \(Al : Si = 1 : 3\).
Масса \(AlSi_3\) в 100 г минерала: \(10,04 + 31,35 = 41,39 \text{ г}\).
Остальная масса \(58,61 \text{ г}\) приходится на X и Y.
Массовое соотношение \(X : Y = 1 : 10,625\).
Пусть \(M_X\) и \(M_Y\) - молярные массы X и Y.
Пусть \(n_X\) и \(n_Y\) - количество молей X и Y.
Тогда \(n_X M_X : n_Y M_Y = 1 : 10,625\).
Минералы, содержащие Al и Si, часто содержат O. Предположим, что Y - это кислород.
\(M_Y = M(O) = 16 \text{ г/моль}\).
\(m(Y) = 53,568 \text{ г}\).
\(n(Y) = n(O) = \frac{53,568}{16} = 3,348 \text{ моль}\).
Теперь найдем соотношение молей \(Al : Si : O\):
\(0,372 : 1,116 : 3,348\).
Разделим на 0,372: \(1 : 3 : 9\).
Значит, на 1 атом Al приходится 3 атома Si и 9 атомов O. Формула \(AlSi_3O_9\).
В этой части формулы суммарный заряд: \(1 \cdot (+3) + 3 \cdot (+4) + 9 \cdot (-2) = 3 + 12 - 18 = -3\).
Значит, элемент X должен быть металлом с общим зарядом \(+3\).
Масса элемента X составляет \(5,042 \text{ г}\).
Если X - одновалентный металл, то его количество молей должно быть 3, чтобы компенсировать заряд. \(n(X) = 3 \cdot n(Al) = 3 \cdot 0,372 = 1,116 \text{ моль}\).
Тогда \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{1,116 \text{ моль}} \approx 4,52 \text{ г/моль}\). Это литий (Li, \(M \approx 6,94\)). Не подходит.
Если X - двухвалентный металл, то его количество молей должно быть \(3/2 = 1,5\) от \(n(Al)\). \(n(X) = 1,5 \cdot n(Al) = 1,5 \cdot 0,372 = 0,558 \text{ моль}\).
Тогда \(M(X) = \frac{5,042 \text{ г}}{0,558 \text{ моль}} \approx 9,03 \text{ г/моль}\). Это бериллий (Be, \(M \approx 9,01\)). Это очень хорошее совпадение!
Если X - бериллий (Be), то его валентность +2.
Тогда количество молей бериллия \(n(Be) = \frac{5,042 \text{ г}}{9,01 \text{ г/моль}} \approx 0,5596 \text{ моль}\).
Теперь найдем соотношение молей \(Al : Si : Be : O\):
\(0,372 : 1,116 : 0,5596 : 3,348\).
Разделим на наименьшее (0,372):
\(0,372/0,372 = 1\).
\(1,116/0,372 = 3\).
\(0,5596/0,372 \approx 1,5\).
\(3,348/0,372 = 9\).
Получаем соотношение \(Al_1Si_3Be_{1,5}O_9\). Чтобы получить целые числа, умножим все на 2:
\(Al_2Si_6Be_3O_{18}\).
Проверим заряды: \(2 \cdot (+3) + 6 \cdot (+4) + 3 \cdot (+2) + 18 \cdot (-2) = 6 + 24 + 6 - 36 = 36 - 36 = 0\).
Формула \(Al_2Be_3Si_6O_{18}\) соответствует минералу берилл.
Проверим массовые доли для \(Al_2Be_3Si_6O_{18}\):
\(M(Al_2Be_3Si_6O_{18}) = 2 \cdot 26,98 + 3 \cdot 9,01 + 6 \cdot 28,09 + 18 \cdot 16,00 = 53,96 + 27,03 + 168,54 + 288,00 = 537,53 \text{ г/моль}\).
\(\omega(Al) = \frac{2 \cdot 26,98}{537,53} \cdot 100\% = \frac{53,96}{537,53} \cdot 100\% \approx 10,038\% \approx 10,04\%\).
\(\omega(Si) = \frac{6 \cdot 28,09}{537,53} \cdot 100\% = \frac{168,54}{537,53} \cdot 100\% \approx 31,354\% \approx 31,35\%\).
Массовое соотношение X (Be) и Y (O):
\(m(Be) : m(O) = (3 \cdot 9,01) : (18 \cdot 16,00) = 27,03 : 288,00\).
\(27,03 / 27,03 : 288,00 / 27,03 = 1 : 10,655\). Это очень близко к