Решение задач по комбинаторике

Задача 1.1. Дано: Первая бригада — 15 чел. Вторая бригада — 12 чел. Третья бригада — 10 чел. Выбирают по одному человеку из каждой бригады. Решение: Для выбора одного человека из каждой бригады воспользуемся правилом произведения. Количество способов составить группу из 3 человек равно произведению количества человек в каждой бригаде: \[ N = 15 \cdot 12 \cdot 10 \] \[ N = 180 \cdot 10 = 1800 \] Ответ: 1800 способов. Задача 1.2. Дано: Пассажиров — 5 чел. Вагонов — 10. Каждый может сесть в любой вагон. Решение: Каждый из пяти пассажиров имеет 10 вариантов выбора вагона. Так как выбор каждого пассажира независим, общее число способов размещения определяется по формуле размещений с повторениями: \[ N = 10^5 = 100000 \] Ответ: 100 000 вариантов. Задача 1.3. Дано: Всего дисциплин — 12. В день — 3 предмета. Порядок предметов в расписании важен. Решение: Так как порядок предметов в расписании имеет значение (первая пара, вторая, третья), используем формулу для числа размещений из 12 по 3: \[ A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320 \] Ответ: 1320 способами. Задача 1.4. Дано: Людей — 8. Вагонов — 8. В каждый вагон садится по одному человеку. Решение: Задача сводится к перестановке 8 человек по 8 вагонам. Используем формулу перестановок: \[ P_8 = 8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320 \] Ответ: 40 320 способами. Задача 1.5. Дано: Шахматистов — 14. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Решение: Партия играется двумя людьми, при этом порядок игроков в паре не важен. Используем формулу для числа сочетаний из 14 по 2: \[ C_{14}^2 = \frac{14!}{2! \cdot (14-2)!} = \frac{14 \cdot 13}{2 \cdot 1} = 7 \cdot 13 = 91 \] Ответ: 91 партия.