Решение задачи №1.22 по комбинаторике: Выбор футбольной команды

Задача 1.22. Дано: Нападающие: всего 6, нужно выбрать 3. Полузащитники: всего 3, нужно выбрать 3. Защитники: всего 6, нужно выбрать 4. Вратари: всего 1, нужно выбрать 1. Решение: Для решения задачи необходимо выбрать игроков каждой позиции отдельно и перемножить полученные результаты (правило произведения). Так как порядок выбора внутри одной группы игроков не важен, используем формулу сочетаний \( C_n^k \). 1) Выбор нападающих: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \] 2) Выбор полузащитников: \[ C_3^3 = 1 \] (так как нужно выбрать всех имеющихся) 3) Выбор защитников: \[ C_6^4 = C_6^{6-4} = C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] 4) Выбор вратаря: \[ C_1^1 = 1 \] 5) Общее число способов составить команду: \[ N = C_6^3 \cdot C_3^3 \cdot C_6^4 \cdot C_1^1 \] \[ N = 20 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 1 = 300 \] Ответ: 300 способами.