2 вариант
Задача 1
С наклонной плоскости высотой 80 см скатывается шарик. Найти скорость шарика у основания плоскости?
Дано:
Высота \(h = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}\)
Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) (можно использовать \(10 \text{ м/с}^2\) для упрощения расчетов, если это допускается учителем)
Найти:
Скорость \(v\)
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения энергии. Предполагаем, что трение отсутствует.
В верхней точке наклонной плоскости шарик обладает только потенциальной энергией, а его кинетическая энергия равна нулю (если он начинает скатываться без начальной скорости).
В нижней точке наклонной плоскости вся потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию.
Потенциальная энергия \(E_п\) определяется формулой:
\[E_п = mgh\]
где \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота.
Кинетическая энергия \(E_к\) определяется формулой:
\[E_к = \frac{mv^2}{2}\]
где \(m\) - масса шарика, \(v\) - скорость шарика.
Согласно закону сохранения энергии:
\[E_п = E_к\]
\[mgh = \frac{mv^2}{2}\]
Масса \(m\) сокращается с обеих сторон уравнения:
\[gh = \frac{v^2}{2}\]
Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2gh\]
\[v = \sqrt{2gh}\]
Подставим известные значения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{15,68 \text{ м}^2/\text{с}^2}\]
\[v \approx 3,96 \text{ м/с}\]
Если использовать \(g = 10 \text{ м/с}^2\):
\[v = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,8 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{16 \text{ м}^2/\text{с}^2}\]
\[v = 4 \text{ м/с}\]
Ответ: Скорость шарика у основания плоскости примерно \(3,96 \text{ м/с}\) (или \(4 \text{ м/с}\), если \(g=10 \text{ м/с}^2\)).
Задача 2
Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 4 м/с. Найдите массу камня, если на достигнутой высоте потенциальная энергия равна 40 Дж.
Дано:
Начальная скорость \(v_0 = 4 \text{ м/с}\)
Потенциальная энергия на достигнутой высоте \(E_п = 40 \text{ Дж}\)
Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) (или \(10 \text{ м/с}^2\))
Найти:
Массу камня \(m\)
Решение:
В этой задаче также используем закон сохранения энергии.
В момент броска камень обладает только кинетической энергией, а его потенциальная энергия равна нулю (если отсчитывать высоту от точки броска).
На максимальной высоте, куда поднимется камень, его скорость станет равной нулю, и вся начальная кинетическая энергия перейдет в потенциальную энергию.
Начальная кинетическая энергия \(E_к\) определяется формулой:
\[E_к = \frac{mv_0^2}{2}\]
где \(m\) - масса камня, \(v_0\) - начальная скорость.
По условию задачи, на достигнутой высоте потенциальная энергия \(E_п = 40 \text{ Дж}\).
Согласно закону сохранения энергии, вся начальная кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию на максимальной высоте:
\[E_к = E_п\]
\[\frac{mv_0^2}{2} = E_п\]
Выразим массу \(m\):
\[m = \frac{2E_п}{v_0^2}\]
Подставим известные значения:
\[m = \frac{2 \cdot 40 \text{ Дж}}{(4 \text{ м/с})^2}\]
\[m = \frac{80 \text{ Дж}}{16 \text{ м}^2/\text{с}^2}\]
\[m = 5 \text{ кг}\]
Ответ: Масса камня равна \(5 \text{ кг}\).