Решение задач 3 и 4 по геометрии

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. ---

3. Выберите верное утверждение:

Правильный ответ: Г) пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник. Пояснение: А) Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Апофема - это высота боковой грани правильной пирамиды. Б) Боковые грани усеченной пирамиды - это трапеции, а не прямоугольники. В) Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему, а не на высоту. Д) Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. ---

4. Найти ребро куба, если площадь диагонального сечения равна \(4\sqrt{2}\) см\(^2\).

Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональное сечение куба - это прямоугольник, сторонами которого являются ребро куба \(a\) и диагональ грани куба \(d_{грани}\). Диагональ грани куба \(d_{грани}\) находится по теореме Пифагора: \(d_{грани} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\). Площадь диагонального сечения \(S_{сеч}\) равна произведению ребра куба на диагональ грани: \(S_{сеч} = a \cdot d_{грани} = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}\). По условию, \(S_{сеч} = 4\sqrt{2}\) см\(^2\). Значит, \(a^2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\). Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(a^2 = 4\). Извлечем квадратный корень: \(a = \sqrt{4}\). \(a = 2\) см. Ответ: А) 2 см. ---

5. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10 см, 2 см, 5 см.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(a = 10\) см, \(b = 2\) см, \(c = 5\) см. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда \(S_{полн}\) вычисляется по формуле: \(S_{полн} = 2(ab + bc + ac)\). Подставим значения: \(S_{полн} = 2(10 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 10 \cdot 5)\). \(S_{полн} = 2(20 + 10 + 50)\). \(S_{полн} = 2(80)\). \(S_{полн} = 160\) см\(^2\). Ответ: Б) 160 см\(^2\). ---

6. Высота прямой призмы равна 6 см, основание - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Высота призмы \(h = 6\) см. Основание - прямоугольный треугольник с катетами \(a = 3\) см и \(b = 4\) см. Найдем гипотенузу \(c\) основания по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см. Периметр основания \(P_{осн}\) равен сумме длин всех сторон треугольника: \(P_{осн} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12\) см. Площадь боковой поверхности прямой призмы \(S_{бок}\) вычисляется по формуле: \(S_{бок} = P_{осн} \cdot h\). Подставим значения: \(S_{бок} = 12 \cdot 6 = 72\) см\(^2\). Ответ: Б) 72 см\(^2\). ---

7. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 4 см, апофема равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды \(a = 4\) см. Апофема \(l = 6\) см. Основание - квадрат со стороной \(a\). Площадь основания \(S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16\) см\(^2\). Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одной боковой грани \(S_{грани}\) равна: \(S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{апофема} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l\). \(S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\) см\(^2\). Площадь боковой поверхности \(S_{бок}\) равна: \(S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 12 = 48\) см\(^2\). Или по формуле \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l\), где \(P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16\) см. \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\) см\(^2\). Площадь полной поверхности пирамиды \(S_{полн}\) равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16 + 48 = 64\) см\(^2\). Ответ: В) 64 см\(^2\). ---

8. Найдите площадь поверхности правильного икосаэдра, ребро которого равно 4 см.

Правильный икосаэдр - это многогранник, состоящий из 20 правильных треугольных граней. Ребро икосаэдра \(a = 4\) см. Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) вычисляется по формуле: \(S_{треугольника} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Подставим значение \(a = 4\): \(S_{треугольника} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\) см\(^2\). Площадь поверхности икосаэдра \(S_{икосаэдра}\) равна произведению количества граней на площадь одной грани: \(S_{икосаэдра} = 20 \cdot S_{треугольника} = 20 \cdot 4\sqrt{3} = 80\sqrt{3}\) см\(^2\). Ответ: Б) \(80\sqrt{3}\) см\(^2\). ---

Дополнительная часть.

9. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника, лежащего в ее основании, и равны 12 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть боковые ребра пирамиды равны \(L = 12\) см. Основание - прямоугольный треугольник. По условию, боковые ребра равны гипотенузе основания. Значит, гипотенуза основания \(c = 12\) см. Если все боковые ребра пирамиды равны, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности около основания. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности \(R\) для прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \(R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см. Высота пирамиды \(H\), боковое ребро \(L\) и радиус описанной окружности \(R\) образуют прямоугольный треугольник, где \(L\) - гипотенуза. По теореме Пифагора: \(H^2 + R^2 = L^2\). \(H^2 + 6^2 = 12^2\). \(H^2 + 36 = 144\). \(H^2 = 144 - 36\). \(H^2 = 108\). \(H = \sqrt{108}\). Разложим 108 на множители: \(108 = 36 \cdot 3\). \(H = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) см. Ответ: А) \(6\sqrt{3}\) см. ---

10. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания равны 6 см и 3 см. Высота \(\sqrt{3}\).

(Предполагается, что высота усеченной пирамиды равна \(\sqrt{3}\) см). Пусть сторона нижнего основания \(a_1 = 6\) см. Пусть сторона верхнего основания \(a_2 = 3\) см. Высота усеченной пирамиды \(h = \sqrt{3}\) см. Для правильной треугольной пирамиды основаниями являются правильные (равносторонние) треугольники. Найдем радиусы вписанных окружностей для каждого основания. Радиус вписанной окружности для правильного треугольника со стороной \(a\) равен \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Для нижнего основания: \(r_1 = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) см. Для верхнего основания: \(r_2 = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см. Апофема усеченной пирамиды \(l\) может быть найдена из прямоугольной трапеции, образованной высотой усеченной пирамиды, апофемами оснований и апофемой усеченной пирамиды. В этой трапеции боковая сторона - это апофема усеченной пирамиды \(l\), высота - это высота усеченной пирамиды \(h\), а основания - это апофемы оснований \(r_1\) и \(r_2\). Проекция апофемы усеченной пирамиды на плоскость основания равна \(r_1 - r_2\). \(r_1 - r_2 = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) см. Теперь найдем апофему усеченной пирамиды \(l\) по теореме Пифагора: \(l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2\). \(l^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\). \(l^2 = 3 + \frac{3}{4}\). \(l^2 = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}\). \(l = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}\) см. (Задача не спрашивает, что именно найти, но обычно в таких задачах просят найти площадь боковой поверхности или полную поверхность. Если нужно найти что-то другое, пожалуйста, уточните.) Предположим, нужно найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды \(S_{бок}\) вычисляется по формуле: \(S_{бок} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\), где \(P_1\) и \(P_2\) - периметры оснований, \(l\) - апофема. Периметр нижнего основания \(P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 6 = 18\) см. Периметр верхнего основания \(P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 3 = 9\) см. \(S_{бок} = \frac{1}{2} (18 + 9) \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}\). \(S_{бок} = \frac{1}{2} (27) \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}\). \(S_{бок} = \frac{27\sqrt{15}}{4}\) см\(^2\). ---

(9) Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:4, диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{189}\) см. Найти тангенс угла между диагональю и плоскостью основания.

Пусть измерения параллелепипеда равны \(x\), \(2x\), \(4x\). Диагональ параллелепипеда \(D = \sqrt{189}\) см. Формула для диагонали прямоугольного параллелепипеда: \(D^2 = a^2 + b^2 + c^2\). Подставим значения: \((\sqrt{189})^2 = x^2 + (2x)^2 + (4x)^2\). \(189 = x^2 + 4x^2 + 16x^2\). \(189 = 21x^2\). \(x^2 = \frac{189}{21}\). \(x^2 = 9\). \(x = 3\). Значит, измерения параллелепипеда: \(a = x = 3\) см. \(b = 2x = 2 \cdot 3 = 6\) см. \(c = 4x = 4 \cdot 3 = 12\) см. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания - это угол между диагональю параллелепипеда и диагональю основания, которая лежит в той же плоскости, что и диагональ параллелепипеда. Пусть \(\alpha\) - искомый угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелепипеда \(c\), диагональю основания \(d_{осн}\) и диагональю параллелепипеда \(D\). В этом треугольнике \(c\) - противолежащий катет к углу \(\alpha\), а \(d_{осн}\) - прилежащий катет. Тангенс угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\tan \alpha = \frac{c}{d_{осн}}\). Найдем диагональ основания \(d_{осн}\). Основание - прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). \(d_{осн}^2 = a^2 + b^2\). \(d_{осн}^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\). \(d_{осн} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) см. Теперь найдем тангенс угла \(\alpha\): \(\tan \alpha = \frac{12}{3\sqrt{5}}\). \(\tan \alpha = \frac{4}{\sqrt{5}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \(\tan \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{5}\). Ответ: \(\tan \alpha = \frac{4\sqrt{5}}{5}\). ---

(10) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковыми ребрами угол 45°. Найти объем пирамиды.

Высота пирамиды \(H = 10\) см. Угол между высотой и боковым ребром равен \(45^\circ\). Пусть \(L\) - длина бокового ребра. Пусть \(R\) - радиус описанной окружности около основания. Высота пирамиды, боковое ребро и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике высота \(H\) является катетом, прилежащим к углу \(45^\circ\), а \(R\) - катетом, противолежащим углу \(45^\circ\). Так как угол равен \(45^\circ\), то треугольник равнобедренный, и \(R = H\). Значит, \(R = 10\) см. Основание - правильный четырехугольник, то есть квадрат. Радиус описанной окружности для квадрата со стороной \(a\) равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата \(d_{кв} = a\sqrt{2}\). \(R = \frac{d_{кв}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Мы знаем \(R = 10\), поэтому: \(10 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). \(20 = a\sqrt{2}\). \(a = \frac{20}{\sqrt{