Решение задачи 152: Уравнение окружности по координатам диаметра

Хорошо, давайте решим задачу 152. Задача 152: Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (3; -6), B (-1; 4). Решение: Для того чтобы составить уравнение окружности, нам нужно знать координаты её центра и радиус. Шаг 1: Найдем координаты центра окружности. Центр окружности (обозначим его C) является серединой диаметра AB. Координаты середины отрезка находятся по формулам: \[x_C = \frac{x_A + x_B}{2}\] \[y_C = \frac{y_A + y_B}{2}\] Подставим координаты точек A (3; -6) и B (-1; 4): \[x_C = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[y_C = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Итак, координаты центра окружности C (1; -1). Шаг 2: Найдем радиус окружности. Радиус окружности (обозначим его R) равен половине длины диаметра AB. Сначала найдем длину отрезка AB по формуле расстояния между двумя точками: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Длина отрезка AB: \[AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - (-6))^2}\] \[AB = \sqrt{(-4)^2 + (4 + 6)^2}\] \[AB = \sqrt{16 + (10)^2}\] \[AB = \sqrt{16 + 100}\] \[AB = \sqrt{116}\] Теперь найдем радиус R, который равен половине длины AB: \[R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{116}}{2}\] Для удобства возведем радиус в квадрат, так как в уравнении окружности используется \(R^2\): \[R^2 = \left(\frac{\sqrt{116}}{2}\right)^2 = \frac{116}{4} = 29\] Шаг 3: Составим уравнение окружности. Общее уравнение окружности имеет вид: \[(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = R^2\] Подставим найденные координаты центра C (1; -1) и значение \(R^2 = 29\): \[(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 29\] \[(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29\] Ответ: Уравнение окружности: \((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 29\).