Решение задачи по термеху: реакции опор

Ниже представлено решение задачи по теоретической механике на определение реакций опор твердого тела. Дано: \( AB = 3l \); \( BC = 2l \); \( F_1 = P \); \( F_2 = 4P \); \( M = Pl \). \( F_1 \parallel yz \); \( F_2 \parallel x \). Углы: для \( F_1 \) — \( 30^\circ \) к горизонтали, для стержня \( CC' \) — \( 60^\circ \) к вертикали. Найти: реакции опор \( A \), \( B \) и \( C' \). Решение: 1. Анализ связей: В точке \( A \) — сферический шарнир, возникают три реакции: \( X_A, Y_A, Z_A \). В точке \( B \) — цилиндрическая опора (подшипник), возникают две реакции: \( X_B, Z_B \). В точке \( C \) прикреплен невесомый стержень \( CC' \). Реакция \( R_{C'} \) направлена вдоль стержня. 2. Разложим силы на составляющие: Для \( F_1 \): \[ F_{1y} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = P \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ F_{1z} = -F_1 \cdot \sin(30^\circ) = -\frac{P}{2} \] Для \( F_2 \): \[ F_{2x} = -F_2 = -4P \] Для реакции \( R_{C'} \): \[ R_{C'y} = -R_{C'} \cdot \sin(60^\circ) = -R_{C'} \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ R_{C'z} = R_{C'} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{R_{C'}}{2} \] 3. Составим уравнения равновесия: Сумма моментов относительно оси \( y \) (проходит через \( A \) и \( B \)): \[ \sum M_y = 0: \quad -F_{1z} \cdot \frac{3l}{2} - P \cdot \frac{3l}{2} + R_{C'z} \cdot 3l = 0 \] Подставим значения: \[ \frac{P}{2} \cdot \frac{3l}{2} - \frac{3Pl}{2} + \frac{R_{C'}}{2} \cdot 3l = 0 \] \[ \frac{3Pl}{4} - \frac{6Pl}{4} + \frac{3l R_{C'}}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3l R_{C'}}{2} = \frac{3Pl}{4} \Rightarrow R_{C'} = \frac{P}{2} \] Сумма моментов относительно оси \( z \): \[ \sum M_z = 0: \quad -X_B \cdot 3l - F_{1y} \cdot \frac{3l}{2} - F_{2x} \cdot 2l + R_{C'y} \cdot 3l = 0 \] Подставим \( R_{C'} = 0.5P \) и значения сил: \[ -3l X_B - \frac{\sqrt{3}P}{2} \cdot \frac{3l}{2} - (-4P) \cdot 2l - \frac{\sqrt{3}P}{4} \cdot 3l = 0 \] \[ -3l X_B - \frac{3\sqrt{3}Pl}{4} + 8Pl - \frac{3\sqrt{3}Pl}{4} = 0 \] \[ 3l X_B = 8Pl - \frac{3\sqrt{3}Pl}{2} \Rightarrow X_B = \frac{8P}{3} - \frac{\sqrt{3}P}{2} \approx 1.8P \] Сумма моментов относительно оси \( x \): \[ \sum M_x = 0: \quad Z_B \cdot 3l + F_{1z} \cdot 3l + P \cdot \frac{3l}{2} - M = 0 \] \[ 3l Z_B - \frac{P}{2} \cdot 3l + \frac{3Pl}{2} - Pl = 0 \] \[ 3l Z_B - 1.5Pl + 1.5Pl - Pl = 0 \Rightarrow 3l Z_B = Pl \Rightarrow Z_B = \frac{P}{3} \] Сумма сил на ось \( x \): \[ \sum F_x = 0: \quad X_A + X_B + F_{2x} = 0 \] \[ X_A + \frac{8P}{3} - \frac{\sqrt{3}P}{2} - 4P = 0 \Rightarrow X_A = \frac{4P}{3} + \frac{\sqrt{3}P}{2} \approx 2.2P \] Сумма сил на ось \( y \): \[ \sum F_y = 0: \quad Y_A + F_{1y} + R_{C'y} = 0 \] \[ Y_A + \frac{\sqrt{3}P}{2} - \frac{\sqrt{3}P}{4} = 0 \Rightarrow Y_A = -\frac{\sqrt{3}P}{4} \] Сумма сил на ось \( z \): \[ \sum F_z = 0: \quad Z_A + Z_B + F_{1z} - P + R_{C'z} = 0 \] \[ Z_A + \frac{P}{3} - \frac{P}{2} - P + \frac{P}{4} = 0 \] \[ Z_A = P + \frac{P}{2} - \frac{P}{3} - \frac{P}{4} = \frac{12P + 6P - 4P - 3P}{12} = \frac{11P}{12} \] Ответ: \[ R_{C'} = 0.5P; \quad X_B \approx 1.8P; \quad Z_B = \frac{P}{3}; \quad X_A \approx 2.2P; \quad Y_A \approx -0.43P; \quad Z_A \approx 0.92P. \]