Решение задачи №7 по термеху: Определение реакций опор

Задача №7 по теоретической механике: Определение реакций опор твердого тела. Дано: \(AB = 3l\) \(BC = 2l\) \(F_1 = 2P\) \(F_2 = 3P\) \(M = 4Pl\) \(F_1 \parallel XZ\) (под углом \(30^\circ\) к оси \(Z\)) \(F_2 \parallel X\) Вес плиты \(P\) приложен в центре тяжести (геометрическом центре прямоугольника \(AB\)). Найти: Реакции опор в точках \(A\), \(B\) и натяжение стержня \(CC'\). Решение: 1. Анализ связей: В точке \(A\) — сферический шарнир, возникают три реакции: \(X_A, Y_A, Z_A\). В точке \(B\) — цилиндрический шарнир (подшипник), возникают две реакции: \(X_B, Z_B\) (ось \(Y\) совпадает с осью подшипника). В точке \(C\) — невесомый стержень \(CC'\), направленный под углом \(30^\circ\) к горизонтали в плоскости \(YZ\). Реакция \(T\) направлена вдоль стержня. 2. Разложим силы на составляющие по осям координат: Для силы \(F_1\): \[F_{1x} = F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0,5 = P\] \[F_{1z} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = P\sqrt{3}\] Для силы \(F_2\): \[F_{2x} = F_2 = 3P\] Для реакции стержня \(T\): \[T_y = -T \cdot \cos(30^\circ) = -T \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[T_z = T \cdot \sin(30^\circ) = 0,5T\] 3. Составим уравнения равновесия: Сумма моментов относительно оси \(X\) (проходит через \(A\) и \(B\)): \[\sum M_x = 0: -P \cdot l - M + T_z \cdot 2l = 0\] \[-Pl - 4Pl + 0,5T \cdot 2l = 0\] \[-5Pl + Tl = 0 \Rightarrow T = 5P\] Сумма моментов относительно оси \(Y\): \[\sum M_y = 0: -F_{1x} \cdot 3l - F_2 \cdot 1,5l + Z_B \cdot 3l = 0\] \[-P \cdot 3l - 3P \cdot 1,5l + Z_B \cdot 3l = 0\] \[-3Pl - 4,5Pl + 3l Z_B = 0 \Rightarrow 3l Z_B = 7,5Pl \Rightarrow Z_B = 2,5P\] Сумма моментов относительно оси \(Z\): \[\sum M_z = 0: -X_B \cdot 3l - T_y \cdot 2l = 0\] \[-3l X_B - (-5P \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 2l = 0\] \[-3l X_B + 5\sqrt{3}Pl = 0 \Rightarrow X_B = \frac{5\sqrt{3}}{3}P \approx 2,89P\] Сумма проекций на ось \(X\): \[\sum F_x = 0: X_A + X_B + F_{1x} + F_2 = 0\] \[X_A + 2,89P + P + 3P = 0 \Rightarrow X_A = -6,89P\] Сумма проекций на ось \(Y\): \[\sum F_y = 0: Y_A + T_y = 0\] \[Y_A - 5P \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow Y_A = 2,5\sqrt{3}P \approx 4,33P\] Сумма проекций на ось \(Z\): \[\sum F_z = 0: Z_A + Z_B + F_{1z} - P + T_z = 0\] \[Z_A + 2,5P + P\sqrt{3} - P + 2,5P = 0\] \[Z_A + 4P + 1,73P = 0 \Rightarrow Z_A = -5,73P\] Ответ: \(T = 5P\) \(X_B \approx 2,89P, Z_B = 2,5P\) \(X_A \approx -6,89P, Y_A \approx 4,33P, Z_A \approx -5,73P\)