Нахождение частных производных z = x³y + xy³ + ln x

Задание: Найти частные производные \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\) для функции: \[z = x^3 y + x y^3 + \ln x\] Решение: 1. Найдем частную производную по переменной \(x\). При этом переменную \(y\) считаем константой (постоянной величиной): \[\frac{\partial z}{\partial x} = (x^3 y + x y^3 + \ln x)'_x\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = (x^3)' \cdot y + (x)' \cdot y^3 + (\ln x)'\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + 1 \cdot y^3 + \frac{1}{x}\] \[\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + y^3 + \frac{1}{x}\] 2. Найдем частную производную по переменной \(y\). При этом переменную \(x\) считаем константой: \[\frac{\partial z}{\partial y} = (x^3 y + x y^3 + \ln x)'_y\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 \cdot (y)' + x \cdot (y^3)' + (\ln x)'_y\] Так как \(\ln x\) не содержит переменной \(y\), его производная по \(y\) равна нулю: \[\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 \cdot 1 + x \cdot 3y^2 + 0\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + 3xy^2\] Ответ: \[\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 y + y^3 + \frac{1}{x}\] \[\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 + 3xy^2\]