Решение задачи: Скорость течения реки

Задача по алгебре (8 класс) Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна \((20 + x)\) км/ч, а скорость катера против течения равна \((20 - x)\) км/ч. По условию задачи катер прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Время движения против течения: \[t_1 = \frac{36}{20 - x}\] Время движения по течению: \[t_2 = \frac{22}{20 + x}\] Составим уравнение: \[\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3\] Приведем дроби к общему знаменателю \((20 - x)(20 + x)\): \[\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3\] \[\frac{720 + 36x + 440 - 22x}{400 - x^2} = 3\] \[\frac{1160 + 14x}{400 - x^2} = 3\] Перемножим крест-накрест (учитывая, что \(x \neq 20\)): \[1160 + 14x = 3(400 - x^2)\] \[1160 + 14x = 1200 - 3x^2\] \[3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0\] \[3x^2 + 14x - 40 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676\] \[\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -6\frac{2}{3}\] Так как скорость течения не может быть отрицательной, нам подходит только корень \(x = 2\). Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч.