Решение задачи: Оценка концентрации носителей в InSb

Задача 3. Воспользовавшись табличными значениями для эффективных масс носителей, оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InSb. Решение: Для собственного полупроводника концентрация электронов \(n\) и дырок \(p\) равны, и их общая концентрация носителей \(n_i\) (собственная концентрация) определяется формулой: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] где: * \(N_c\) — эффективная плотность состояний в зоне проводимости. * \(N_v\) — эффективная плотность состояний в валентной зоне. * \(E_g\) — ширина запрещенной зоны полупроводника. * \(k\) — постоянная Больцмана. * \(T\) — абсолютная температура. Эффективные плотности состояний \(N_c\) и \(N_v\) рассчитываются по формулам: \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] где: * \(m_e^*\) — эффективная масса электронов. * \(m_h^*\) — эффективная масса дырок. * \(h\) — постоянная Планка. Сначала соберём необходимые табличные значения для InSb при комнатной температуре (обычно \(T = 300 \text{ K}\)): 1. Ширина запрещенной зоны \(E_g\) для InSb при \(T = 300 \text{ K}\): \(E_g = 0.17 \text{ эВ}\) 2. Эффективная масса электронов \(m_e^*\) для InSb: \(m_e^* = 0.014 m_0\), где \(m_0\) — масса свободного электрона. 3. Эффективная масса дырок \(m_h^*\) для InSb: \(m_h^* = 0.4 m_0\) 4. Масса свободного электрона \(m_0\): \(m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \text{ кг}\) 5. Постоянная Больцмана \(k\): \(k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К}\) В электрон-вольтах: \(k = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К}\) 6. Постоянная Планка \(h\): \(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}\) 7. Комнатная температура \(T\): \(T = 300 \text{ К}\) Переведём \(E_g\) в Джоули для использования с \(k\) в Джоулях: \(E_g = 0.17 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ} = 2.7234 \times 10^{-20} \text{ Дж}\) Рассчитаем произведение \(kT\): \(kT = 1.38 \times 10^{-23} \text{ Дж/К} \times 300 \text{ К} = 4.14 \times 10^{-21} \text{ Дж}\) В электрон-вольтах: \(kT = 8.617 \times 10^{-5} \text{ эВ/К} \times 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\) Теперь рассчитаем эффективные массы в килограммах: \(m_e^* = 0.014 \times 9.109 \times 10^{-31} \text{ кг} = 1.27526 \times 10^{-32} \text{ кг}\) \(m_h^* = 0.4 \times 9.109 \times 10^{-31} \text{ кг} = 3.6436 \times 10^{-31} \text{ кг}\) Рассчитаем \(N_c\): \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi \times 1.27526 \times 10^{-32} \text{ кг} \times 4.14 \times 10^{-21} \text{ Дж}}{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с})^2}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi \times 1.27526 \times 10^{-32} \times 4.14 \times 10^{-21}}{4.3904 \times 10^{-67}}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left(\frac{3.320 \times 10^{-52}}{4.3904 \times 10^{-67}}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left(7.562 \times 10^{14}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \times (7.562^{1.5} \times (10^{14})^{1.5})\] \[N_c = 2 \times (20.82 \times 10^{21})\] \[N_c = 4.164 \times 10^{22} \text{ м}^{-3}\] Рассчитаем \(N_v\): \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi \times 3.6436 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 4.14 \times 10^{-21} \text{ Дж}}{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с})^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi \times 3.6436 \times 10^{-31} \times 4.14 \times 10^{-21}}{4.3904 \times 10^{-67}}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{9.490 \times 10^{-51}}{4.3904 \times 10^{-67}}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(2.161 \times 10^{16}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \times (2.161^{1.5} \times (10^{16})^{1.5})\] \[N_v = 2 \times (3.178 \times 10^{24})\] \[N_v = 6.356 \times 10^{24} \text{ м}^{-3}\] Теперь рассчитаем собственную концентрацию носителей \(n_i\): \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.164 \times 10^{22} \text{ м}^{-3} \times 6.356 \times 10^{24} \text{ м}^{-3}} \exp\left(-\frac{0.17 \text{ эВ}}{2 \times 0.025851 \text{ эВ}}\right)\] \[n_i = \sqrt{2.646 \times 10^{47}} \exp\left(-\frac{0.17}{0.051702}\right)\] \[n_i = 5.144 \times 10^{23} \text{ м}^{-3} \times \exp(-3.288)\] \[n_i = 5.144 \times 10^{23} \text{ м}^{-3} \times 0.0373\] \[n_i = 1.919 \times 10^{22} \text{ м}^{-3}\] Переведём в \(\text{см}^{-3}\): \(1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 10^6 \text{ см}^3\) \(n_i = 1.919 \times 10^{22} \text{ м}^{-3} / 10^6 \text{ см}^{-3}/\text{м}^{-3} = 1.919 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\) Округлим до двух значащих цифр: \(n_i \approx 1.9 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\) Ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(1.9 \times 10^{16} \text{ см}^{-3}\).