Решение задачи: Пути из А в Л через Е

Задача 4

На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К и Л. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Л, проходящих через город Е?

Решение:

Для решения этой задачи будем подсчитывать количество путей до каждого города, начиная с города А. Важно учитывать, что мы ищем пути, проходящие через город Е. Это означает, что мы должны найти количество путей из А в Е, а затем количество путей из Е в Л, и перемножить эти значения.

Шаг 1: Находим количество путей из города А в город Е.

Обозначим \(N(X)\) как количество путей из города А в город X.

\(N(А) = 1\) (начальная точка)

Теперь последовательно вычисляем количество путей до каждого города, из которого можно попасть в Е:

• Город Б: В город Б можно попасть только из А.

\(N(Б) = N(А) = 1\)

• Город В: В город В можно попасть из А и из Б.

\(N(В) = N(А) + N(Б) = 1 + 1 = 2\)

• Город Г: В город Г можно попасть из А и из В.

\(N(Г) = N(А) + N(В) = 1 + 2 = 3\)

• Город Д: В город Д можно попасть только из А.

\(N(Д) = N(А) = 1\)

• Город Е: В город Е можно попасть из Б, В и Г.

\(N(Е) = N(Б) + N(В) + N(Г) = 1 + 2 + 3 = 6\)

Итак, количество путей из города А в город Е равно 6.

Шаг 2: Находим количество путей из города Е в город Л.

Теперь мы считаем количество путей, начиная с города Е. Обозначим \(M(X)\) как количество путей из города Е в город X.

\(M(Е) = 1\) (начальная точка для этого этапа)

Теперь последовательно вычисляем количество путей до каждого города, из которого можно попасть в Л, начиная с Е:

• Город И: В город И можно попасть только из Е.

\(M(И) = M(Е) = 1\)

• Город З: В город З можно попасть из В, Г, Е. Но так как мы считаем пути из Е, то учитываем только пути из Е.

\(M(З) = M(Е) = 1\)

• Город Ж: В город Ж можно попасть из Д. Но так как мы считаем пути из Е, то \(M(Ж) = 0\).

\(M(Ж) = 0\)

• Город К: В город К можно попасть из Ж и З. Так как \(M(Ж) = 0\), то:

\(M(К) = M(Ж) + M(З) = 0 + 1 = 1\)

• Город Л: В город Л можно попасть из И, З и К.

\(M(Л) = M(И) + M(З) + M(К) = 1 + 1 + 1 = 3\)

Итак, количество путей из города Е в город Л равно 3.

Шаг 3: Вычисляем общее количество путей.

Общее количество путей из города А в город Л, проходящих через город Е, равно произведению количества путей из А в Е и количества путей из Е в Л.

Общее количество путей = \(N(Е) \times M(Л) = 6 \times 3 = 18\)

Ответ: 18