Решение задачи по динамике: ускорение центра масс и реакции

Задача № 2. Применив метод динамического расчета механической системы, найти ускорение центра масс тела 2, совершающего плоскопараллельное движение, и динамические реакции, действующие на оси вращающегося тела 3. Дано: \(P_1 = P_4 = P\) \(P_2 = 3P\) \(P_3 = 2P\) \(M = 5Pr\) \(i_2 = r\sqrt{2}\) \(R_2 = 3r\) \(r_2 = 2r\) \(R_3 = 2r\) Найти: \(a_{C2}\) - ускорение центра масс тела 2 \(X_3, Y_3\) - динамические реакции на оси тела 3 Решение: 1. Определим массы тел: Масса тела 1: \(m_1 = P_1/g = P/g\) Масса тела 2: \(m_2 = P_2/g = 3P/g\) Масса тела 3: \(m_3 = P_3/g = 2P/g\) Масса тела 4: \(m_4 = P_4/g = P/g\) 2. Определим моменты инерции тел: Тело 2 - каток, совершающий плоскопараллельное движение. Момент инерции относительно центра масс: \(J_{C2} = m_2 i_2^2 = (3P/g) (r\sqrt{2})^2 = (3P/g) (2r^2) = 6Pr^2/g\) Тело 3 - блок, вращающийся вокруг неподвижной оси. Момент инерции относительно оси вращения: \(J_3 = m_3 R_3^2 / 2\) (для однородного диска) или \(J_3 = m_3 i_3^2\). В данном случае, если \(R_3\) - радиус, то, скорее всего, это радиус инерции или радиус блока. Предположим, что \(R_3\) - это радиус блока, и он является однородным диском. Тогда: \(J_3 = m_3 R_3^2 / 2 = (2P/g) (2r)^2 / 2 = (2P/g) (4r^2) / 2 = 4Pr^2/g\) Если \(R_3\) - это радиус инерции, то \(J_3 = m_3 R_3^2 = (2P/g) (2r)^2 = 8Pr^2/g\). Давайте предположим, что \(R_3\) - это радиус блока, и он является однородным диском. 3. Определим кинематические связи и ускорения. Пусть \(a_{C2}\) - ускорение центра масс тела 2. Тело 2 катится без скольжения. Ускорение точки касания с поверхностью равно нулю. Ускорение точки на ободе радиуса \(R_2\), к которой прикреплена нить с телом 1: \(a_1 = a_{C2} + \epsilon_2 R_2\). Если нить наматывается, то \(a_1 = a_{C2} - \epsilon_2 R_2\). Ускорение точки на ободе радиуса \(r_2\), к которой прикреплена нить с телом 3: \(a_{C2} = \epsilon_2 R_2\) (условие качения без скольжения). Тогда \(\epsilon_2 = a_{C2} / R_2 = a_{C2} / (3r)\). Ускорение тела 1: \(a_1\). Нить, связывающая тело 1 с телом 2, перекинута через блок. Ускорение точки на ободе радиуса \(r_2\) тела 2: \(a_{r2} = a_{C2} - \epsilon_2 r_2 = a_{C2} - (a_{C2}/R_2) r_2 = a_{C2} (1 - r_2/R_2) = a_{C2} (1 - 2r/3r) = a_{C2} (1/3)\). Эта нить связывает тело 2 с телом 3. Ускорение точки на ободе тела 3: \(a_{R3} = \epsilon_3 R_3\). Так как нить нерастяжима, то \(a_{r2} = a_{R3}\). Значит, \(a_{C2}/3 = \epsilon_3 R_3 = \epsilon_3 (2r)\). Отсюда \(\epsilon_3 = a_{C2} / (6r)\). Ускорение тела 4: \(a_4\). Нить, связывающая тело 4 с телом 3. \(a_4 = \epsilon_3 R_3 = a_{C2} / 3\). Направление движения: Момент \(M\) вращает тело 3 против часовой стрелки. Тело 4 опускается. Тело 2 движется вправо. Тело 1 поднимается. Тогда: \(a_{C2}\) - вправо. \(\epsilon_2\) - по часовой стрелке. \(\epsilon_3\) - против часовой стрелки. \(a_1\) - вверх. \(a_4\) - вниз. Пересчитаем ускорения с учетом направлений: \(a_{C2}\) - ускорение центра масс тела 2. \(\epsilon_2 = a_{C2} / R_2 = a_{C2} / (3r)\) (по часовой стрелке). Ускорение точки на ободе \(r_2\) тела 2: \(a_{r2} = a_{C2} + \epsilon_2 r_2 = a_{C2} + (a_{C2}/(3r)) (2r) = a_{C2} (1 + 2/3) = (5/3) a_{C2}\). Эта нить связывает тело 2 с телом 3. Ускорение точки на ободе тела 3: \(a_{R3} = \epsilon_3 R_3\). Так как нить нерастяжима, то \(a_{r2} = a_{R3}\). Значит, \((5/3) a_{C2} = \epsilon_3 R_3 = \epsilon_3 (2r)\). Отсюда \(\epsilon_3 = (5/6) a_{C2} / r\) (против часовой стрелки). Ускорение тела 1: \(a_1\). Нить, связывающая тело 1 с телом 2, перекинута через блок. Ускорение точки на ободе радиуса \(R_2\) тела 2: \(a_{R2} = a_{C2} - \epsilon_2 R_2 = a_{C2} - (a_{C2}/(3r)) (3r) = 0\). Это неверно, так как тело 2 катится без скольжения, и точка касания с поверхностью имеет нулевое ускорение. Нить, связывающая тело 1 с телом 2, прикреплена к ободу радиуса \(R_2\). Если тело 2 движется вправо, а \(\epsilon_2\) по часовой стрелке, то точка на верхнем ободе движется вправо со скоростью \(v_{C2} + \omega_2 R_2 = v_{C2} + (v_{C2}/R_2) R_2 = 2v_{C2}\). Тогда ускорение \(a_1 = a_{C2} + \epsilon_2 R_2 = a_{C2} + (a_{C2}/(3r)) (3r) = 2a_{C2}\) (вверх). Ускорение тела 4: \(a_4\). Нить, связывающая тело 4 с телом 3. \(a_4 = \epsilon_3 R_3 = ((5/6) a_{C2} / r) (2r) = (5/3) a_{C2}\) (вниз). 4. Составим уравнения движения для каждого тела. Тело 1 (движение вверх): \(T_1 - P_1 = m_1 a_1\) \(T_1 - P = (P/g) (2a_{C2})\) \(T_1 = P + (2P/g) a_{C2}\) Тело 4 (движение вниз): \(P_4 - T_4 = m_4 a_4\) \(P - T_4 = (P/g) ((5/3) a_{C2})\) \(T_4 = P - (5P/(3g)) a_{C2}\) Тело 2 (плоскопараллельное движение): Ось X (горизонтально вправо): \(T_1' - T_2' - F_{тр} = m_2 a_{C2}\) \(T_1'\) - сила натяжения нити, идущей к телу 1. \(T_1' = T_1\). \(T_2'\) - сила натяжения нити, идущей к телу 3. \(T_2' = T_2\). \(T_1 - T_2 - F_{тр} = (3P/g) a_{C2}\) Уравнение моментов относительно центра масс C2: \(T_2 r_2 - T_1 R_2 + F_{тр} R_2 = J_{C2} \epsilon_2\) \(T_2 (2r) - T_1 (3r) + F_{тр} (3r) = (6Pr^2/g) (a_{C2}/(3r))\) \(2r T_2 - 3r T_1 + 3r F_{тр} = (2Pr/g) a_{C2}\) Разделим на \(r\): \(2 T_2 - 3 T_1 + 3 F_{тр} = (2P/g) a_{C2}\) Тело 3 (вращение вокруг неподвижной оси): Момент относительно оси вращения: \(M - T_2 R_3 - T_4 R_3 = J_3 \epsilon_3\) \(5Pr - T_2 (2r) - T_4 (2r) = (4Pr^2/g) ((5/6) a_{C2} / r)\) \(5Pr - 2r T_2 - 2r T_4 = (10Pr/(3g)) a_{C2}\) Разделим на \(r\): \(5P - 2 T_2 - 2 T_4 = (10P/(3g)) a_{C2}\) 5. Система уравнений: 1. \(T_1 = P + (2P/g) a_{C2}\) 2. \(T_4 = P - (5P/(3g)) a_{C2}\) 3. \(T_1 - T_2 - F_{тр} = (3P/g) a_{C2}\) 4. \(2 T_2 - 3 T_1 + 3 F_{тр} = (2P/g) a_{C2}\) 5. \(5P - 2 T_2 - 2 T_4 = (10P/(3g)) a_{C2}\) Подставим (1) и (2) в (5): \(5P - 2 (T_2) - 2 (P - (5P/(3g)) a_{C2}) = (10P/(3g)) a_{C2}\) \(5P - 2 T_2 - 2P + (10P/(3g)) a_{C2} = (10P/(3g)) a_{C2}\) \(3P - 2 T_2 = 0\) \(T_2 = (3/2) P\) Теперь подставим \(T_1\) и \(T_2\) в (3) и (4). Из (3): \(F_{тр} = T_1 - T_2 - (3P/g) a_{C2}\) \(F_{тр} = (P + (2P/g) a_{C2}) - (3/2)P - (3P/g) a_{C2}\) \(F_{тр} = - (1/2)P - (P/g) a_{C2}\) Подставим \(T_1, T_2, F_{тр}\) в (4): \(2 ((3/2)P) - 3 (P + (2P/g) a_{C2}) + 3 (- (1/2)P - (P/g) a_{C2}) = (2P/g) a_{C2}\) \(3P - 3P - (6P/g) a_{C2} - (3/2)P - (3P/g) a_{C2} = (2P/g) a_{C2}\) \(- (3/2)P - (9P/g) a_{C2} = (2P/g) a_{C2}\) \(- (3/2)P = (11P/g) a_{C2}\) \(a_{C2} = - (3/2)P \cdot (g/(11P))\) \(a_{C2} = - (3/22) g\) Отрицательное значение \(a_{C2}\) означает, что наше первоначальное предположение о направлении движения было неверным. Значит, тело 2 движется влево, \(\epsilon_2\) - против часовой стрелки, \(\epsilon_3\) - по часовой стрелке, тело 1 опускается, тело 4 поднимается. Давайте пересчитаем с учетом этого. Новый подход: Метод Даламбера или обобщенный принцип Даламбера. Применим уравнение Лагранжа 2-го рода или принцип возможных перемещений. Выберем обобщенную координату \(x_{C2}\) - смещение центра масс тела 2. Пусть \(x_{C2}\) увеличивается вправо. Тогда: \(\delta x_{C2}\) - возможное перемещение центра масс тела 2. \(\delta \phi_2 = \delta x_{C2} / R_2 = \delta x_{C2} / (3r)\) (по часовой стрелке). \(\delta x_1 = \delta x_{C2} + \delta \phi_2 R_2 = \delta x_{C2} + (\delta x_{C2}/R_2) R_2 = 2 \delta x_{C2}\) (вверх). \(\delta x_{r2} = \delta x_{C2} - \delta \phi_2 r_2 = \delta x_{C2} - (\delta x_{C2}/R_2) r_2 = \delta x_{C2} (1 - r_2/R_2) = \delta x_{C2} (1 - 2r/3r) = (1/3) \delta x_{C2}\) (вправо). \(\delta \phi_3 = \delta x_{r2} / R_3 = ((1/3) \delta x_{C2}) / (2r) = \delta x_{C2} / (6r)\) (против часовой стрелки). \(\delta x_4 = \delta \phi_3 R_3 = (\delta x_{C2} / (6r)) (2r) = (1/3) \delta x_{C2}\) (вниз). Уравнение Даламбера: \(\sum (F_i + F_i^{ин}) \cdot \delta r_i = 0\) \((M - J_3 \epsilon_3) \delta \phi_3 + (P_1 - m_1 a_1) \delta x_1 + (P_4 - m_4 a_4) \delta x_4 + (F_{тр} - m_2 a_{C2}) \delta x_{C2} + (T_2 r_2 - T_1 R_2 + F_{тр} R_2 - J_{C2} \epsilon_2) \delta \phi_2 = 0\) Это слишком сложно. Давайте использовать принцип Даламбера для каждого тела. Пересчитаем с учетом, что \(a_{C2}\) направлено влево. Пусть \(a_{C2}\) - величина ускорения центра масс тела 2. Направление: тело 2 влево, \(\epsilon_2\) - против часовой стрелки, тело 1 вниз, тело 4 вверх, \(\epsilon_3\) - по часовой стрелке. Кинематика: \(a_{C2}\) - влево. \(\epsilon_2 = a_{C2} / R_2 = a_{C2} / (3r)\) (против часовой стрелки). Ускорение точки на ободе \(R_2\) тела 2 (верхняя точка): \(a_{R2,верх} = a_{C2