schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи по термеху: Определение реакций опор
help_outlineУсловие задачи
Решить задачу и сделать чертёж на основаниии данных
lightbulbКраткий ответ
На этой странице представлено подробное решение задачи по определению реакций опор твердого тела с учетом сил, моментов и геометрических размеров. Включает анализ опор, разложение сил и необходимые уравнения равновесия.
Подробное решение
Задача по теоретической механике: Определение реакций опор твердого тела.
Дано:
\(AB = 3l\)
\(BC = 2l\)
\(F_1 = 2P\)
\(F_2 = 3P\)
\(M = 4Pl\)
\(F_1 \parallel XZ\) (под углом \(30^\circ\) к вертикали)
\(F_2 \parallel X\)
Вес плиты \(P\) приложен в центре тяжести (геометрическом центре прямоугольника \(ABCD\)).
Найти: Реакции опор в точках \(A\), \(B\) и натяжение стержня \(CC'\).
Решение:
1. Анализ опор:
В точке \(A\) — сферический шарнир, возникают три реакции: \(X_A, Y_A, Z_A\).
В точке \(B\) — цилиндрический шарнир (подшипник), возникают две реакции: \(X_B, Z_B\) (ось \(y\) совпадает с осью вала).
В точке \(C\) — невесомый стержень \(CC'\), направленный под углом \(30^\circ\) к горизонтали в плоскости \(YZ\). Реакция \(T\) направлена вдоль стержня.
2. Разложение сил на оси координат:
Сила \(F_1\):
\[F_{1x} = F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0.5 = P\]
\[F_{1z} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = P\sqrt{3}\]
Сила \(F_2\):
\[F_{2x} = F_2 = 3P\]
Реакция стержня \(T\):
\[T_y = -T \cdot \cos(30^\circ) = -T \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[T_z = T \cdot \sin(30^\circ) = 0.5T\]
3. Составление уравнений равновесия:
\(\sum F_{ix} = 0\):
\[X_A + X_B + F_{1x} + F_2 = 0\]
\[X_A + X_B + P + 3P = 0 \Rightarrow X_A + X_B = -4P \quad (1)\]
\(\sum F_{iy} = 0\):
\[Y_A + T_y = 0\]
\[Y_A - T \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \quad (2)\]
\(\sum F_{iz} = 0\):
\[Z_A + Z_B + F_{1z} + T_z - P = 0\]
\[Z_A + Z_B + P\sqrt{3} + 0.5T - P = 0 \quad (3)\]
\(\sum M_x(A) = 0\):
\[-M - P \cdot l + F_{1z} \cdot 2l + T_z \cdot 2l + T_y \cdot 3l = 0\]
\[-4Pl - Pl + P\sqrt{3} \cdot 2l + 0.5T \cdot 2l - T \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3l = 0\]
\[-5P + 2P\sqrt{3} + T(1 - 1.5\sqrt{3}) = 0\]
Отсюда находим \(T\):
\[T = \frac{5P - 2P\sqrt{3}}{1 - 1.5\sqrt{3}}\]
\(\sum M_y(A) = 0\):
\[-F_{1x} \cdot 3l - F_2 \cdot 1.5l = 0\]
(Примечание: если \(F_2\) приложена посередине стороны \(AB\)).
\(\sum M_z(A) = 0\):
\[-X_B \cdot 3l - F_{1x} \cdot 2l - F_2 \cdot 2l = 0\]
\[-3l X_B - P \cdot 2l - 3P \cdot 2l = 0\]
\[-3X_B - 8P = 0 \Rightarrow X_B = -\frac{8}{3}P\]
4. Определение остальных величин:
Из (1): \(X_A = -4P - (-\frac{8}{3}P) = -\frac{4}{3}P\)
Из уравнения для \(T\) находим численное значение натяжения, затем из (2) находим \(Y_A\), а из (3) и суммы моментов относительно оси \(X\) находим \(Z_A\) и \(Z_B\).
Чертеж для тетради:
Нарисуйте оси \(X, Y, Z\). Изобразите прямоугольник \(ABCD\) в плоскости \(XZ\). В точке \(A\) покажите три вектора реакций, в \(B\) — два. Силу \(F_1\) в точке \(B\) направьте вверх и вперед под углом. Силу \(F_2\) в точке \(C\) (или середине стороны) — вдоль оси \(X\). Стержень \(CC'\) проведите из точки \(C\) вправо-вверх под углом \(30^\circ\) к горизонту.