Решение задачи по термеху: Равновесие твердого тела

Для решения задачи по теоретической механике на равновесие твердого тела под действием пространственной системы сил, составим уравнения равновесия. Дано: \(AB = 3l\) (высота плиты по оси \(z\)) \(BC = 2l\) (ширина плиты по оси \(x\)) \(F_1 = 2P\) (приложена в точке \(B\), в плоскости \(XZ\)) \(F_2 = 3P\) (приложена в точке \(C\), параллельна оси \(x\)) \(M = 4Pl\) (момент в плоскости плиты) \(P\) — вес плиты (приложен в центре тяжести) 1. Определение реакций опор: В точке \(A\) (сферический шарнир): \(X_A, Y_A, Z_A\). В точке \(B\) (подшипник): \(X_B, Y_B\) (так как вал вдоль оси \(z\), реакции перпендикулярны ей). В точке \(C\) (стержень \(CC'\)): реакция \(T\) направлена вдоль стержня. 2. Разложение сил на оси координат: Сила \(F_1\) (в плоскости \(XZ\)): \[F_{1x} = F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0.5 = P\] \[F_{1z} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = P\sqrt{3}\] Реакция стержня \(T\) (в плоскости \(YZ\)): \[T_y = T \cdot \cos(30^\circ) = T \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[T_z = T \cdot \sin(30^\circ) = 0.5T\] 3. Составление уравнений равновесия: \(\sum M_z(A) = 0\): \[-F_{1x} \cdot 0 - F_2 \cdot 2l - X_B \cdot 0 = 0\] Так как \(F_2\) и \(F_{1x}\) лежат в плоскостях, проходящих через ось \(z\), или пересекают её, уравнение моментов относительно \(z\) упрощается. \[-F_2 \cdot 2l + X_B \cdot 0 = 0 \text{ (не дает } X_B \text{ напрямую)}\] Рассмотрим сумму моментов относительно осей, проходящих через точку \(A\): \(\sum M_x(A) = 0\): \[-M - P \cdot l + T_z \cdot 2l + T_y \cdot 3l = 0\] \[-4Pl - Pl + 0.5T \cdot 2l + T \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3l = 0\] \[-5Pl + Tl(1 + 1.5\sqrt{3}) = 0\] \[T = \frac{5P}{1 + 1.5\sqrt{3}} \approx 1.39P\] \(\sum M_y(A) = 0\): \[F_{1z} \cdot 0 - F_{1x} \cdot 3l - F_2 \cdot 3l + Z_B \cdot 0 = 0\] (Здесь учитываем плечи сил относительно оси \(y\)). \(\sum F_{ix} = 0\): \[X_A + X_B + F_{1x} + F_2 = 0\] \[X_A + X_B + P + 3P = 0 \Rightarrow X_A + X_B = -4P\] \(\sum F_{iy} = 0\): \[Y_A + Y_B + T_y = 0\] \[Y_A + Y_B + T \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\] \(\sum F_{iz} = 0\): \[Z_A + F_{1z} + T_z - P = 0\] \[Z_A + P\sqrt{3} + 0.5T - P = 0\] 4. Итоговые значения: Из уравнения моментов относительно оси \(x\) мы нашли \(T\). Подставляя \(T\) в остальные уравнения, можно последовательно найти все составляющие реакций опор \(A\) и \(B\). Для тетради: При переписывании аккуратно начертите оси. Точка \(A\) находится в начале координат. Плита лежит в плоскости \(XZ\). Стержень \(CC'\) уходит вглубь чертежа (вдоль оси \(y\)) и вверх. Все векторы сил должны быть четко обозначены согласно их проекциям.