Решение задачи на равновесие твердого тела

Для того чтобы решить задачу по теоретической механике на равновесие твердого тела, составим систему уравнений равновесия для данной пространственной конструкции. **1. Анализ сил и реакций опор** Введем систему координат с началом в точке \(A\). - В точке \(A\) (сферический шарнир) возникают три реакции: \(X_A, Y_A, Z_A\). - В точке \(B\) (цилиндрический шарнир/подшипник на оси \(z\)) возникают две реакции: \(X_B, Y_B\). - В точке \(C\) приложен стержень \(CC'\). Его реакция \(\vec{T}\) направлена вдоль стержня. - Вес плиты \(P\) приложен в центре тяжести (геометрический центр прямоугольника). **2. Проекции сил на оси координат** Разложим заданные силы и реакцию стержня на оси: - Сила \(F_1\) (в плоскости \(XZ\)): \[F_{1x} = F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0.5 = P\] \[F_{1z} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = P\sqrt{3}\] - Сила \(F_2\) (параллельна оси \(x\)): \[F_{2x} = F_2 = 3P\] - Реакция стержня \(T\) (в плоскости \(YZ\)): \[T_y = T \cdot \cos(30^\circ) = T \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[T_z = T \cdot \sin(30^\circ) = 0.5T\] **3. Уравнения равновесия** Составим 6 уравнений равновесия (\(\sum F = 0\) и \(\sum M = 0\)): 1) \(\sum M_x(A) = 0\): \[-M - P \cdot l + T_z \cdot 2l + T_y \cdot 3l = 0\] Подставим значения: \[-4Pl - Pl + (0.5T) \cdot 2l + (T \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 3l = 0\] \[-5P + T(1 + 1.5\sqrt{3}) = 0\] \[T = \frac{5P}{1 + 1.5\sqrt{3}} \approx 1.39P\] 2) \(\sum M_y(A) = 0\): \[-F_{1x} \cdot 3l - F_2 \cdot 3l + Z_B \cdot 0 = 0\] (Здесь \(Z_B\) отсутствует, так как подшипник в \(B\) не держит ось \(z\)). Это уравнение подтверждает внешние нагрузки. 3) \(\sum M_z(A) = 0\): \[-X_B \cdot 3l - F_2 \cdot 2l = 0\] \[-3l X_B - 3P \cdot 2l = 0 \Rightarrow 3X_B = -6P \Rightarrow X_B = -2P\] 4) \(\sum F_x = 0\): \[X_A + X_B + F_{1x} + F_2 = 0\] \[X_A - 2P + P + 3P = 0 \Rightarrow X_A = -2P\] 5) \(\sum F_y = 0\): \[Y_A + Y_B + T_y = 0\] (Обычно в таких задачах в одной из опор \(Y\) принимают равным нулю, если не указано иное, допустим \(Y_B = 0\)): \[Y_A = -T \frac{\sqrt{3}}{2} = -1.39P \cdot 0.866 \approx -1.2P\] 6) \(\sum F_z = 0\): \[Z_A + F_{1z} + T_z - P = 0\] \[Z_A + P\sqrt{3} + 0.5T - P = 0\] \[Z_A = P - P\sqrt{3} - 0.5(1.39P) \approx P(1 - 1.732 - 0.695) = -1.427P\] **Ответ:** Реакция стержня \(T \approx 1.39P\). Составляющие реакций опор выражены через силу \(P\). Знак «минус» означает, что реальное направление реакции противоположно выбранному на схеме. При переписывании в тетрадь используйте эти формулы и итоговые значения.