Решение задачи: Химический потенциал и теплоемкость двумерного ферми-газа (Квасников)

Для решения задачи воспользуемся методами статистической механики, изложенными в курсе И. А. Квасникова. Задача: Определить химический потенциал двумерного идеального нерелятивистского ферми-газа и его низкотемпературную теплоемкость. Решение: 1. Плотность состояний. Для двумерного (2D) газа в объеме (площади) \( S \) число состояний в интервале импульсов от \( p \) до \( p + dp \) с учетом спинового вырождения \( g = 2s + 1 \) (для электронов \( g = 2 \)) равно: \[ dN = g \frac{S \cdot d^2p}{(2\pi\hbar)^2} \] Переходя к энергии \( \varepsilon = \frac{p^2}{2m} \), получим \( d\varepsilon = \frac{p}{m} dp \). Тогда плотность состояний \( \rho(\varepsilon) \) постоянна: \[ \rho(\varepsilon) = \frac{dN}{d\varepsilon} = \frac{g S m}{2\pi\hbar^2} \] 2. Определение химического потенциала \( \mu \). Полное число частиц \( N \) определяется интегралом по распределению Ферми-Дирака: \[ N = \int_{0}^{\infty} \frac{\rho(\varepsilon) d\varepsilon}{\exp\left(\frac{\varepsilon - \mu}{\theta}\right) + 1} \] где \( \theta = kT \). Подставим \( \rho(\varepsilon) \): \[ N = \frac{g S m}{2\pi\hbar^2} \int_{0}^{\infty} \frac{d\varepsilon}{\exp\left(\frac{\varepsilon - \mu}{\theta}\right) + 1} \] Интеграл вычисляется точно: \[ N = \frac{g S m \theta}{2\pi\hbar^2} \ln\left(1 + \exp\left(\frac{\mu}{\theta}\right)\right) \] Отсюда выражаем химический потенциал: \[ \mu(\theta) = \theta \ln\left[\exp\left(\frac{2\pi\hbar^2 N}{g S m \theta}\right) - 1\right] \] Введем энергию Ферми \( \varepsilon_F = \frac{2\pi\hbar^2 N}{g S m} \). Тогда: \[ \mu(T) = kT \ln\left[\exp\left(\frac{\varepsilon_F}{kT}\right) - 1\right] \] 3. Низкотемпературный предел для \( \mu \). При \( T \to 0 \) (когда \( kT \ll \varepsilon_F \)): \[ \mu \approx \varepsilon_F \left[ 1 - \exp\left(-\frac{\varepsilon_F}{kT}\right) \right] \] В отличие от трехмерного случая, здесь поправка экспоненциально мала. 4. Внутренняя энергия и теплоемкость. Внутренняя энергия \( E \): \[ E = \int_{0}^{\infty} \frac{\varepsilon \rho(\varepsilon) d\varepsilon}{\exp\left(\frac{\varepsilon - \mu}{\theta}\right) + 1} \] Для вычисления низкотемпературной теплоемкости воспользуемся разложением Зоммерфельда. В двумерном случае для любой функции \( f(\varepsilon) \): \[ \int_{0}^{\infty} \frac{f(\varepsilon) d\varepsilon}{\exp\left(\frac{\varepsilon - \mu}{\theta}\right) + 1} \approx \int_{0}^{\mu} f(\varepsilon) d\varepsilon + \frac{\pi^2}{6} \theta^2 f'(\mu) \] Для энергии \( f(\varepsilon) = \varepsilon \rho(\varepsilon) \): \[ E \approx \rho \frac{\mu^2}{2} + \frac{\pi^2}{6} \theta^2 \rho \] Подставляя \( \mu \approx \varepsilon_F \): \[ E \approx \frac{\rho \varepsilon_F^2}{2} + \frac{\pi^2}{6} \rho (kT)^2 \] Теплоемкость \( C_V \) при постоянном объеме (площади): \[ C_V = \left( \frac{\partial E}{\partial T} \right)_S = \frac{\pi^2}{3} \rho k^2 T \] Подставим значение \( \rho \): \[ C_V = \frac{\pi^2}{3} \frac{g S m k^2 T}{2\pi\hbar^2} \] Учитывая, что \( N = \rho \varepsilon_F \), можно переписать через число частиц: \[ C_V = \frac{\pi^2}{3} N k \frac{kT}{\varepsilon_F} \] Ответ: Химический потенциал: \( \mu = kT \ln\left[\exp\left(\frac{\varepsilon_F}{kT}\right) - 1\right] \). Низкотемпературная теплоемкость: \( C_V = \frac{\pi^2}{3} N k \frac{kT}{\varepsilon_F} \).